Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 342 / 222
↖ ↑ ↗
← N 80.238500°
W119.882812°		 ← 3 313.97 m → N 80.238500°
W119.707031°		 →
↑
3 318.97 m
↓
↑
3 318.97 m
↓
N 80.208652°
W119.882812°		 ← 3 324 m →
11 015 618 m²		 N 80.208652°
W119.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167236328125 y=0.108642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167236328125 × 211)
    floor (0.167236328125 × 2048)
    floor (342.5)     		tx = 342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108642578125 × 211)
    floor (0.108642578125 × 2048)
    floor (222.5)     		ty = 222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 342 / 222 ti = "11/342/222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/342/222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 342 ÷ 211
    342 ÷ 2048     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 222 ÷ 211
    222 ÷ 2048     		y = 0.1083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1083984375 × 2 - 1) × π
    0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46050518369824))-π/2
    2×atan(11.7107261138092)-π/2
    2×1.48561117409006-π/2
    2.97122234818012-1.57079632675     		φ = 1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 342 KachelY 222 -2.09234979 1.40042602 -119.882812 80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 343 KachelY 222 -2.08928183 1.40042602 -119.707031 80.238500
    Unten links KachelX 342 KachelY + 1 223 -2.09234979 1.39990507 -119.882812 80.208652
    Unten rechts KachelX + 1 343 KachelY + 1 223 -2.08928183 1.39990507 -119.707031 80.208652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40042602-1.39990507) × R
    0.000520950000000076 × 6371000     		dl = 3318.97245000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40042602-1.39990507) × R
    0.000520950000000076 × 6371000     		dr = 3318.97245000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.08928183) × cos(1.40042602) × R
    0.00306796000000009 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 3313.96709623873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.08928183) × cos(1.39990507) × R
    0.00306796000000009 × 0.170060690877121 × 6371000     		du = 3324.00169945537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40042602)-sin(1.39990507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.170060690877121)×R²
    abs(-2.08928183--2.09234979)×0.000513384682077622×R²
    0.00306796000000009×0.000513384682077622×6371000²
    0.00306796000000009×0.000513384682077622×40589641000000     		ar = 11015618.0275656m²