Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34199 / 34763
↖ ↑ ↗
← S 10.892648°
E  7.860718°		 ← 599.78 m → S 10.892648°
E  7.866211°		 →
↑
599.83 m
↓
↑
599.83 m
↓
S 10.898042°
E  7.860718°		 ← 599.77 m →
359 764 m²		 S 10.898042°
E  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521842956542969 y=0.530448913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521842956542969 × 216)
    floor (0.521842956542969 × 65536)
    floor (34199.5)     		tx = 34199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530448913574219 × 216)
    floor (0.530448913574219 × 65536)
    floor (34763.5)     		ty = 34763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34199 / 34763 ti = "16/34199/34763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34199/34763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34199 ÷ 216
    34199 ÷ 65536     		x = 0.521835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34763 ÷ 216
    34763 ÷ 65536     		y = 0.530441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521835327148438 × 2 - 1) × π
    0.043670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13719541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530441284179688 × 2 - 1) × π
    -0.060882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.191268229484024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13719541} λ = 0.13719541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191268229484024))-π/2
    2×atan(0.825911024749585)-π/2
    2×0.690341877338459-π/2
    1.38068375467692-1.57079632675     		φ = -0.19011257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13719541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.860718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19011257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.892648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34199 KachelY 34763 0.13719541 -0.19011257 7.860718 -10.892648
    Oben rechts KachelX + 1 34200 KachelY 34763 0.13729128 -0.19011257 7.866211 -10.892648
    Unten links KachelX 34199 KachelY + 1 34764 0.13719541 -0.19020672 7.860718 -10.898042
    Unten rechts KachelX + 1 34200 KachelY + 1 34764 0.13729128 -0.19020672 7.866211 -10.898042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19011257--0.19020672) × R
    9.41499999999873e-05 × 6371000     		dl = 599.829649999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19011257--0.19020672) × R
    9.41499999999873e-05 × 6371000     		dr = 599.829649999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13719541-0.13729128) × cos(-0.19011257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981982969049527 × 6371000     		do = 599.783187843726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13719541-0.13729128) × cos(-0.19020672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981965173224708 × 6371000     		du = 599.77231837157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19011257)-sin(-0.19020672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981982969049527-0.981965173224708)×R²
    abs(0.13729128-0.13719541)×1.7795824818867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7795824818867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7795824818867e-05×40589641000000     		ar = 359764.479990127m²