Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34195 / 34258
↖ ↑ ↗
← S  8.157118°
E  7.838745°		 ← 604.67 m → S  8.157118°
E  7.844239°		 →
↑
604.61 m
↓
↑
604.61 m
↓
S  8.162556°
E  7.838745°		 ← 604.66 m →
365 587 m²		 S  8.162556°
E  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521781921386719 y=0.522743225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521781921386719 × 216)
    floor (0.521781921386719 × 65536)
    floor (34195.5)     		tx = 34195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522743225097656 × 216)
    floor (0.522743225097656 × 65536)
    floor (34258.5)     		ty = 34258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34195 / 34258 ti = "16/34195/34258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34195/34258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34195 ÷ 216
    34195 ÷ 65536     		x = 0.521774291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34258 ÷ 216
    34258 ÷ 65536     		y = 0.522735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521774291992188 × 2 - 1) × π
    0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.04547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.142851960867767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13681191} λ = 0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142851960867767))-π/2
    2×atan(0.866882391913887)-π/2
    2×0.714213878811723-π/2
    1.42842775762345-1.57079632675     		φ = -0.14236857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14236857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.157118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34195 KachelY 34258 0.13681191 -0.14236857 7.838745 -8.157118
    Oben rechts KachelX + 1 34196 KachelY 34258 0.13690779 -0.14236857 7.844239 -8.157118
    Unten links KachelX 34195 KachelY + 1 34259 0.13681191 -0.14246347 7.838745 -8.162556
    Unten rechts KachelX + 1 34196 KachelY + 1 34259 0.13690779 -0.14246347 7.844239 -8.162556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14236857--0.14246347) × R
    9.49000000000089e-05 × 6371000     		dl = 604.607900000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14236857--0.14246347) × R
    9.49000000000089e-05 × 6371000     		dr = 604.607900000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13681191-0.13690779) × cos(-0.14236857) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989882701270738 × 6371000     		do = 604.671313097582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13681191-0.13690779) × cos(-0.14246347) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989869231631015 × 6371000     		du = 604.663085148222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14236857)-sin(-0.14246347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989882701270738-0.989869231631015)×R²
    abs(0.13690779-0.13681191)×1.34696397229295e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.34696397229295e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.34696397229295e-05×40589641000000     		ar = 365586.565735054m²