Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34194 / 34257
↖ ↑ ↗
← S  8.151680°
E  7.833252°		 ← 604.62 m → S  8.151680°
E  7.838745°		 →
↑
604.67 m
↓
↑
604.67 m
↓
S  8.157118°
E  7.833252°		 ← 604.61 m →
365 592 m²		 S  8.157118°
E  7.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521766662597656 y=0.522727966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521766662597656 × 216)
    floor (0.521766662597656 × 65536)
    floor (34194.5)     		tx = 34194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522727966308594 × 216)
    floor (0.522727966308594 × 65536)
    floor (34257.5)     		ty = 34257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34194 / 34257 ti = "16/34194/34257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34194/34257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34194 ÷ 216
    34194 ÷ 65536     		x = 0.521759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34257 ÷ 216
    34257 ÷ 65536     		y = 0.522720336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521759033203125 × 2 - 1) × π
    0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522720336914062 × 2 - 1) × π
    -0.045440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.142756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13671604} λ = 0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142756087068527))-π/2
    2×atan(0.86696550720652)-π/2
    2×0.714261331042098-π/2
    1.4285226620842-1.57079632675     		φ = -0.14227366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14227366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.151680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34194 KachelY 34257 0.13671604 -0.14227366 7.833252 -8.151680
    Oben rechts KachelX + 1 34195 KachelY 34257 0.13681191 -0.14227366 7.838745 -8.151680
    Unten links KachelX 34194 KachelY + 1 34258 0.13671604 -0.14236857 7.833252 -8.157118
    Unten rechts KachelX + 1 34195 KachelY + 1 34258 0.13681191 -0.14236857 7.838745 -8.157118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14227366--0.14236857) × R
    9.49100000000036e-05 × 6371000     		dl = 604.671610000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14227366--0.14236857) × R
    9.49100000000036e-05 × 6371000     		dr = 604.671610000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13671604-0.13681191) × cos(-0.14227366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989896163413509 × 6371000     		do = 604.616470182879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13671604-0.13681191) × cos(-0.14236857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989882701270738 × 6371000     		du = 604.608247670717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14227366)-sin(-0.14236857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989896163413509-0.989882701270738)×R²
    abs(0.13681191-0.13671604)×1.34621427709813e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.34621427709813e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.34621427709813e-05×40589641000000     		ar = 365591.928772586m²