Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34193 / 34244
↖ ↑ ↗
← S  8.080985°
E  7.827759°		 ← 604.79 m → S  8.080985°
E  7.833252°		 →
↑
604.74 m
↓
↑
604.74 m
↓
S  8.086423°
E  7.827759°		 ← 604.78 m →
365 733 m²		 S  8.086423°
E  7.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521751403808594 y=0.522529602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521751403808594 × 216)
    floor (0.521751403808594 × 65536)
    floor (34193.5)     		tx = 34193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522529602050781 × 216)
    floor (0.522529602050781 × 65536)
    floor (34244.5)     		ty = 34244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34193 / 34244 ti = "16/34193/34244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34193/34244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34193 ÷ 216
    34193 ÷ 65536     		x = 0.521743774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34244 ÷ 216
    34244 ÷ 65536     		y = 0.52252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521743774414062 × 2 - 1) × π
    0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.141509727678406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13662016} λ = 0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141509727678406))-π/2
    2×atan(0.868046731464376)-π/2
    2×0.714878268587418-π/2
    1.42975653717484-1.57079632675     		φ = -0.14103979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14103979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.080985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34193 KachelY 34244 0.13662016 -0.14103979 7.827759 -8.080985
    Oben rechts KachelX + 1 34194 KachelY 34244 0.13671604 -0.14103979 7.833252 -8.080985
    Unten links KachelX 34193 KachelY + 1 34245 0.13662016 -0.14113471 7.827759 -8.086423
    Unten rechts KachelX + 1 34194 KachelY + 1 34245 0.13671604 -0.14113471 7.833252 -8.086423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14103979--0.14113471) × R
    9.49199999999983e-05 × 6371000     		dl = 604.735319999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14103979--0.14113471) × R
    9.49199999999983e-05 × 6371000     		dr = 604.735319999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13662016-0.13671604) × cos(-0.14103979) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.990070365411085 × 6371000     		do = 604.785948015631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13662016-0.13671604) × cos(-0.14113471) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.990057017794454 × 6371000     		du = 604.777794604257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14103979)-sin(-0.14113471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990070365411085-0.990057017794454)×R²
    abs(0.13671604-0.13662016)×1.33476166316315e-05×R²
    9.58800000000204e-05×1.33476166316315e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×1.33476166316315e-05×40589641000000     		ar = 365732.958751422m²