Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34191 / 21387
↖ ↑ ↗
← N 76.261521°
W 86.091614°		 ← 72.54 m → N 76.261521°
W 86.088867°		 →
↑
72.57 m
↓
↑
72.57 m
↓
N 76.260869°
W 86.091614°		 ← 72.54 m →
5 264 m²		 N 76.260869°
W 86.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260860443115234 y=0.163173675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260860443115234 × 217)
    floor (0.260860443115234 × 131072)
    floor (34191.5)     		tx = 34191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163173675537109 × 217)
    floor (0.163173675537109 × 131072)
    floor (21387.5)     		ty = 21387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34191 / 21387 ti = "17/34191/21387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34191/21387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34191 ÷ 217
    34191 ÷ 131072     		x = 0.260856628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21387 ÷ 217
    21387 ÷ 131072     		y = 0.163169860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260856628417969 × 2 - 1) × π
    -0.478286743164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.50258212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163169860839844 × 2 - 1) × π
    0.673660278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.11636618132586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50258212} λ = -1.50258212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11636618132586))-π/2
    2×atan(8.3009185829707)-π/2
    2×1.45090548326381-π/2
    2.90181096652763-1.57079632675     		φ = 1.33101464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50258212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.091614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33101464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.261521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34191 KachelY 21387 -1.50258212 1.33101464 -86.091614 76.261521
    Oben rechts KachelX + 1 34192 KachelY 21387 -1.50253418 1.33101464 -86.088867 76.261521
    Unten links KachelX 34191 KachelY + 1 21388 -1.50258212 1.33100325 -86.091614 76.260869
    Unten rechts KachelX + 1 34192 KachelY + 1 21388 -1.50253418 1.33100325 -86.088867 76.260869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33101464-1.33100325) × R
    1.13900000000555e-05 × 6371000     		dl = 72.5656900003537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33101464-1.33100325) × R
    1.13900000000555e-05 × 6371000     		dr = 72.5656900003537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50258212--1.50253418) × cos(1.33101464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237490564857759 × 6371000     		do = 72.5357315146515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50258212--1.50253418) × cos(1.33100325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237501628972692 × 6371000     		du = 72.5391107801423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33101464)-sin(1.33100325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237490564857759-0.237501628972692)×R²
    abs(-1.50253418--1.50258212)×1.10641149330126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10641149330126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10641149330126e-05×40589641000000     		ar = 5263.72801644411m²