Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34187 / 34716
↖ ↑ ↗
← S 10.639014°
E  7.794800°		 ← 600.29 m → S 10.639014°
E  7.800293°		 →
↑
600.28 m
↓
↑
600.28 m
↓
S 10.644412°
E  7.794800°		 ← 600.28 m →
360 335 m²		 S 10.644412°
E  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521659851074219 y=0.529731750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521659851074219 × 216)
    floor (0.521659851074219 × 65536)
    floor (34187.5)     		tx = 34187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529731750488281 × 216)
    floor (0.529731750488281 × 65536)
    floor (34716.5)     		ty = 34716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34187 / 34716 ti = "16/34187/34716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34187/34716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34187 ÷ 216
    34187 ÷ 65536     		x = 0.521652221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34716 ÷ 216
    34716 ÷ 65536     		y = 0.52972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521652221679688 × 2 - 1) × π
    0.043304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13604492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.186762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13604492} λ = 0.13604492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186762160919739))-π/2
    2×atan(0.829641033982404)-π/2
    2×0.692555253628407-π/2
    1.38511050725681-1.57079632675     		φ = -0.18568582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13604492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.794800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18568582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.639014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34187 KachelY 34716 0.13604492 -0.18568582 7.794800 -10.639014
    Oben rechts KachelX + 1 34188 KachelY 34716 0.13614079 -0.18568582 7.800293 -10.639014
    Unten links KachelX 34187 KachelY + 1 34717 0.13604492 -0.18578004 7.794800 -10.644412
    Unten rechts KachelX + 1 34188 KachelY + 1 34717 0.13614079 -0.18578004 7.800293 -10.644412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18568582--0.18578004) × R
    9.4220000000006e-05 × 6371000     		dl = 600.275620000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18568582--0.18578004) × R
    9.4220000000006e-05 × 6371000     		dr = 600.275620000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13604492-0.13614079) × cos(-0.18568582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982809865266929 × 6371000     		do = 600.288245940375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13604492-0.13614079) × cos(-0.18578004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982792465950909 × 6371000     		du = 600.277618650943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18568582)-sin(-0.18578004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982809865266929-0.982792465950909)×R²
    abs(0.13614079-0.13604492)×1.73993160204056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73993160204056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73993160204056e-05×40589641000000     		ar = 360335.209625818m²