Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34187 / 21404
↖ ↑ ↗
← N 76.250428°
W 86.102600°		 ← 72.59 m → N 76.250428°
W 86.099854°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.249775°
W 86.102600°		 ← 72.60 m →
5 273 m²		 N 76.249775°
W 86.099854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260829925537109 y=0.163303375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260829925537109 × 217)
    floor (0.260829925537109 × 131072)
    floor (34187.5)     		tx = 34187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163303375244141 × 217)
    floor (0.163303375244141 × 131072)
    floor (21404.5)     		ty = 21404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34187 / 21404 ti = "17/34187/21404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34187/21404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34187 ÷ 217
    34187 ÷ 131072     		x = 0.260826110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21404 ÷ 217
    21404 ÷ 131072     		y = 0.163299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260826110839844 × 2 - 1) × π
    -0.478347778320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.50277387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163299560546875 × 2 - 1) × π
    0.67340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11555125403232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50277387} λ = -1.50277387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11555125403232))-π/2
    2×atan(8.29415669345436)-π/2
    2×1.45080867618091-π/2
    2.90161735236182-1.57079632675     		φ = 1.33082103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50277387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.102600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33082103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.250428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34187 KachelY 21404 -1.50277387 1.33082103 -86.102600 76.250428
    Oben rechts KachelX + 1 34188 KachelY 21404 -1.50272593 1.33082103 -86.099854 76.250428
    Unten links KachelX 34187 KachelY + 1 21405 -1.50277387 1.33080963 -86.102600 76.249775
    Unten rechts KachelX + 1 34188 KachelY + 1 21405 -1.50272593 1.33080963 -86.099854 76.249775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33082103-1.33080963) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33082103-1.33080963) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50277387--1.50272593) × cos(1.33082103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237678631193391 × 6371000     		do = 72.5931718143808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50277387--1.50272593) × cos(1.33080963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237689704497797 × 6371000     		du = 72.5965538865734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33082103)-sin(1.33080963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237678631193391-0.237689704497797)×R²
    abs(-1.50272593--1.50277387)×1.10733044063338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10733044063338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10733044063338e-05×40589641000000     		ar = 5272.5213321066m²