Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34186 / 34711
↖ ↑ ↗
← S 10.612019°
E  7.789307°		 ← 600.34 m → S 10.612019°
E  7.794800°		 →
↑
600.34 m
↓
↑
600.34 m
↓
S 10.617418°
E  7.789307°		 ← 600.33 m →
360 405 m²		 S 10.617418°
E  7.794800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521644592285156 y=0.529655456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521644592285156 × 216)
    floor (0.521644592285156 × 65536)
    floor (34186.5)     		tx = 34186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529655456542969 × 216)
    floor (0.529655456542969 × 65536)
    floor (34711.5)     		ty = 34711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34186 / 34711 ti = "16/34186/34711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34186/34711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34186 ÷ 216
    34186 ÷ 65536     		x = 0.521636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34711 ÷ 216
    34711 ÷ 65536     		y = 0.529647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521636962890625 × 2 - 1) × π
    0.04327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13594905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.059295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.186282791923538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13594905} λ = 0.13594905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186282791923538))-π/2
    2×atan(0.830038833510833)-π/2
    2×0.692790828333189-π/2
    1.38558165666638-1.57079632675     		φ = -0.18521467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13594905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18521467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.612019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34186 KachelY 34711 0.13594905 -0.18521467 7.789307 -10.612019
    Oben rechts KachelX + 1 34187 KachelY 34711 0.13604492 -0.18521467 7.794800 -10.612019
    Unten links KachelX 34186 KachelY + 1 34712 0.13594905 -0.18530890 7.789307 -10.617418
    Unten rechts KachelX + 1 34187 KachelY + 1 34712 0.13604492 -0.18530890 7.794800 -10.617418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18521467--0.18530890) × R
    9.42300000000007e-05 × 6371000     		dl = 600.339330000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18521467--0.18530890) × R
    9.42300000000007e-05 × 6371000     		dr = 600.339330000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13594905-0.13604492) × cos(-0.18521467) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.982896740179754 × 6371000     		do = 600.341308074822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13594905-0.13604492) × cos(-0.18530890) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.982879382651428 × 6371000     		du = 600.330706308803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18521467)-sin(-0.18530890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982896740179754-0.982879382651428)×R²
    abs(0.13604492-0.13594905)×1.73575283256566e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.73575283256566e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.73575283256566e-05×40589641000000     		ar = 360405.316599071m²