Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34185 / 34679
↖ ↑ ↗
← S 10.439195°
E  7.783813°		 ← 600.74 m → S 10.439195°
E  7.789307°		 →
↑
600.72 m
↓
↑
600.72 m
↓
S 10.444598°
E  7.783813°		 ← 600.73 m →
360 875 m²		 S 10.444598°
E  7.789307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521629333496094 y=0.529167175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521629333496094 × 216)
    floor (0.521629333496094 × 65536)
    floor (34185.5)     		tx = 34185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529167175292969 × 216)
    floor (0.529167175292969 × 65536)
    floor (34679.5)     		ty = 34679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34185 / 34679 ti = "16/34185/34679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34185/34679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34185 ÷ 216
    34185 ÷ 65536     		x = 0.521621704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34679 ÷ 216
    34679 ÷ 65536     		y = 0.529159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521621704101562 × 2 - 1) × π
    0.043243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13585317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.058319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.183214830347855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13585317} λ = 0.13585317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183214830347855))-π/2
    2×atan(0.832589271080126)-π/2
    2×0.694298996771627-π/2
    1.38859799354325-1.57079632675     		φ = -0.18219833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13585317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18219833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.439195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34185 KachelY 34679 0.13585317 -0.18219833 7.783813 -10.439195
    Oben rechts KachelX + 1 34186 KachelY 34679 0.13594905 -0.18219833 7.789307 -10.439195
    Unten links KachelX 34185 KachelY + 1 34680 0.13585317 -0.18229262 7.783813 -10.444598
    Unten rechts KachelX + 1 34186 KachelY + 1 34680 0.13594905 -0.18229262 7.789307 -10.444598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18219833--0.18229262) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dl = 600.72158999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18219833--0.18229262) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dr = 600.72158999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13585317-0.13594905) × cos(-0.18219833) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983447749735458 × 6371000     		do = 600.740513428528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13585317-0.13594905) × cos(-0.18229262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983430660774588 × 6371000     		du = 600.730074611489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18219833)-sin(-0.18229262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983447749735458-0.983430660774588)×R²
    abs(0.13594905-0.13585317)×1.70889608694935e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.70889608694935e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.70889608694935e-05×40589641000000     		ar = 360874.661260093m²