Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34182 / 34291
↖ ↑ ↗
← S  8.336518°
E  7.767334°		 ← 604.40 m → S  8.336518°
E  7.772827°		 →
↑
604.35 m
↓
↑
604.35 m
↓
S  8.341953°
E  7.767334°		 ← 604.39 m →
365 267 m²		 S  8.341953°
E  7.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521583557128906 y=0.523246765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521583557128906 × 216)
    floor (0.521583557128906 × 65536)
    floor (34182.5)     		tx = 34182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523246765136719 × 216)
    floor (0.523246765136719 × 65536)
    floor (34291.5)     		ty = 34291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34182 / 34291 ti = "16/34182/34291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34182/34291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34182 ÷ 216
    34182 ÷ 65536     		x = 0.521575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34291 ÷ 216
    34291 ÷ 65536     		y = 0.523239135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521575927734375 × 2 - 1) × π
    0.04315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13556555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523239135742188 × 2 - 1) × π
    -0.046478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.146015796242691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13556555} λ = 0.13556555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146015796242691))-π/2
    2×atan(0.864144052847652)-π/2
    2×0.712648319841181-π/2
    1.42529663968236-1.57079632675     		φ = -0.14549969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13556555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.767334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14549969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.336518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34182 KachelY 34291 0.13556555 -0.14549969 7.767334 -8.336518
    Oben rechts KachelX + 1 34183 KachelY 34291 0.13566143 -0.14549969 7.772827 -8.336518
    Unten links KachelX 34182 KachelY + 1 34292 0.13556555 -0.14559455 7.767334 -8.341953
    Unten rechts KachelX + 1 34183 KachelY + 1 34292 0.13566143 -0.14559455 7.772827 -8.341953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14549969--0.14559455) × R
    9.48600000000022e-05 × 6371000     		dl = 604.353060000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14549969--0.14559455) × R
    9.48600000000022e-05 × 6371000     		dr = 604.353060000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13556555-0.13566143) × cos(-0.14549969) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989433580918288 × 6371000     		do = 604.396967265589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13556555-0.13566143) × cos(-0.14559455) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989419823013303 × 6371000     		du = 604.388563228968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14549969)-sin(-0.14559455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989433580918288-0.989419823013303)×R²
    abs(0.13566143-0.13556555)×1.37579049849235e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.37579049849235e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.37579049849235e-05×40589641000000     		ar = 365266.617392978m²