Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34180 / 36267
↖ ↑ ↗
← S 18.869905°
E  7.756347°		 ← 578.02 m → S 18.869905°
E  7.761841°		 →
↑
577.98 m
↓
↑
577.98 m
↓
S 18.875103°
E  7.756347°		 ← 578 m →
334 078 m²		 S 18.875103°
E  7.761841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521553039550781 y=0.553398132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521553039550781 × 216)
    floor (0.521553039550781 × 65536)
    floor (34180.5)     		tx = 34180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553398132324219 × 216)
    floor (0.553398132324219 × 65536)
    floor (36267.5)     		ty = 36267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34180 / 36267 ti = "16/34180/36267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34180/36267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34180 ÷ 216
    34180 ÷ 65536     		x = 0.52154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36267 ÷ 216
    36267 ÷ 65536     		y = 0.553390502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52154541015625 × 2 - 1) × π
    0.0430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13537380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553390502929688 × 2 - 1) × π
    -0.106781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.335462423541153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13537380} λ = 0.13537380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335462423541153))-π/2
    2×atan(0.715007373652109)-π/2
    2×0.620727178424319-π/2
    1.24145435684864-1.57079632675     		φ = -0.32934197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13537380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32934197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.869905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34180 KachelY 36267 0.13537380 -0.32934197 7.756347 -18.869905
    Oben rechts KachelX + 1 34181 KachelY 36267 0.13546968 -0.32934197 7.761841 -18.869905
    Unten links KachelX 34180 KachelY + 1 36268 0.13537380 -0.32943269 7.756347 -18.875103
    Unten rechts KachelX + 1 34181 KachelY + 1 36268 0.13546968 -0.32943269 7.761841 -18.875103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32934197--0.32943269) × R
    9.07199999999886e-05 × 6371000     		dl = 577.977119999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32934197--0.32943269) × R
    9.07199999999886e-05 × 6371000     		dr = 577.977119999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13537380-0.13546968) × cos(-0.32934197) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.946255368727167 × 6371000     		do = 578.021492445059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13537380-0.13546968) × cos(-0.32943269) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.946226024131534 × 6371000     		du = 578.003567255386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32934197)-sin(-0.32943269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946255368727167-0.946226024131534)×R²
    abs(0.13546968-0.13537380)×2.9344595632752e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.9344595632752e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.9344595632752e-05×40589641000000     		ar = 334078.017555761m²