Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3418 / 788
↖ ↑ ↗
← N 80.956099°
W 29.794922°		 ← 768.11 m → N 80.956099°
W 29.750977°		 →
↑
768.41 m
↓
↑
768.41 m
↓
N 80.949188°
W 29.794922°		 ← 768.70 m →
590 447 m²		 N 80.949188°
W 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41729736328125 y=0.09625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41729736328125 × 213)
    floor (0.41729736328125 × 8192)
    floor (3418.5)     		tx = 3418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09625244140625 × 213)
    floor (0.09625244140625 × 8192)
    floor (788.5)     		ty = 788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3418 / 788 ti = "13/3418/788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3418/788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3418 ÷ 213
    3418 ÷ 8192     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 788 ÷ 213
    788 ÷ 8192     		y = 0.09619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09619140625 × 2 - 1) × π
    0.8076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53720422309033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53720422309033))-π/2
    2×atan(12.6442709478532)-π/2
    2×1.49187340072562-π/2
    2.98374680145124-1.57079632675     		φ = 1.41295047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41295047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.956099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3418 KachelY 788 -0.52001949 1.41295047 -29.794922 80.956099
    Oben rechts KachelX + 1 3419 KachelY 788 -0.51925250 1.41295047 -29.750977 80.956099
    Unten links KachelX 3418 KachelY + 1 789 -0.52001949 1.41282986 -29.794922 80.949188
    Unten rechts KachelX + 1 3419 KachelY + 1 789 -0.51925250 1.41282986 -29.750977 80.949188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41295047-1.41282986) × R
    0.000120609999999965 × 6371000     		dl = 768.40630999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41295047-1.41282986) × R
    0.000120609999999965 × 6371000     		dr = 768.40630999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51925250) × cos(1.41295047) × R
    0.000766990000000023 × 0.157191209669962 × 6371000     		do = 768.113791299274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51925250) × cos(1.41282986) × R
    0.000766990000000023 × 0.157310319125372 × 6371000     		du = 768.695818853911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41295047)-sin(1.41282986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157191209669962-0.157310319125372)×R²
    abs(-0.51925250--0.52001949)×0.000119109455410216×R²
    0.000766990000000023×0.000119109455410216×6371000²
    0.000766990000000023×0.000119109455410216×40589641000000     		ar = 590447.10156985m²