Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34179 / 36281
↖ ↑ ↗
← S 18.942660°
E  7.750854°		 ← 577.71 m → S 18.942660°
E  7.756347°		 →
↑
577.72 m
↓
↑
577.72 m
↓
S 18.947856°
E  7.750854°		 ← 577.69 m →
333 751 m²		 S 18.947856°
E  7.756347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521537780761719 y=0.553611755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521537780761719 × 216)
    floor (0.521537780761719 × 65536)
    floor (34179.5)     		tx = 34179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553611755371094 × 216)
    floor (0.553611755371094 × 65536)
    floor (36281.5)     		ty = 36281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34179 / 36281 ti = "16/34179/36281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34179/36281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34179 ÷ 216
    34179 ÷ 65536     		x = 0.521530151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36281 ÷ 216
    36281 ÷ 65536     		y = 0.553604125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521530151367188 × 2 - 1) × π
    0.043060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13527793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553604125976562 × 2 - 1) × π
    -0.107208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.336804656730515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13527793} λ = 0.13527793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336804656730515))-π/2
    2×atan(0.714048310811529)-π/2
    2×0.62009226873314-π/2
    1.24018453746628-1.57079632675     		φ = -0.33061179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13527793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.750854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33061179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.942660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34179 KachelY 36281 0.13527793 -0.33061179 7.750854 -18.942660
    Oben rechts KachelX + 1 34180 KachelY 36281 0.13537380 -0.33061179 7.756347 -18.942660
    Unten links KachelX 34179 KachelY + 1 36282 0.13527793 -0.33070247 7.750854 -18.947856
    Unten rechts KachelX + 1 34180 KachelY + 1 36282 0.13537380 -0.33070247 7.756347 -18.947856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33061179--0.33070247) × R
    9.06800000000096e-05 × 6371000     		dl = 577.722280000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33061179--0.33070247) × R
    9.06800000000096e-05 × 6371000     		dr = 577.722280000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13527793-0.13537380) × cos(-0.33061179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94584392021074 × 6371000     		do = 577.709898793563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13527793-0.13537380) × cos(-0.33070247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945814479621994 × 6371000     		du = 577.691916842016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33061179)-sin(-0.33070247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94584392021074-0.945814479621994)×R²
    abs(0.13537380-0.13527793)×2.94405887463212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94405887463212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94405887463212e-05×40589641000000     		ar = 333750.685851175m²