Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3417 / 790
↖ ↑ ↗
← N 80.942273°
W 29.838867°		 ← 769.28 m → N 80.942273°
W 29.794922°		 →
↑
769.55 m
↓
↑
769.55 m
↓
N 80.935352°
W 29.838867°		 ← 769.86 m →
592 225 m²		 N 80.935352°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41717529296875 y=0.09649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41717529296875 × 213)
    floor (0.41717529296875 × 8192)
    floor (3417.5)     		tx = 3417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09649658203125 × 213)
    floor (0.09649658203125 × 8192)
    floor (790.5)     		ty = 790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3417 / 790 ti = "13/3417/790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3417/790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3417 ÷ 213
    3417 ÷ 8192     		x = 0.4171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 790 ÷ 213
    790 ÷ 8192     		y = 0.096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096435546875 × 2 - 1) × π
    0.80712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53567024230249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52078648} λ = -0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53567024230249))-π/2
    2×atan(12.6248897481374)-π/2
    2×1.49175274521441-π/2
    2.98350549042882-1.57079632675     		φ = 1.41270916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41270916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.942273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3417 KachelY 790 -0.52078648 1.41270916 -29.838867 80.942273
    Oben rechts KachelX + 1 3418 KachelY 790 -0.52001949 1.41270916 -29.794922 80.942273
    Unten links KachelX 3417 KachelY + 1 791 -0.52078648 1.41258837 -29.838867 80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 3418 KachelY + 1 791 -0.52001949 1.41258837 -29.794922 80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41270916-1.41258837) × R
    0.000120789999999982 × 6371000     		dl = 769.553089999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41270916-1.41258837) × R
    0.000120789999999982 × 6371000     		dr = 769.553089999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52078648--0.52001949) × cos(1.41270916) × R
    0.000766990000000023 × 0.157429515170146 × 6371000     		do = 769.278269526894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52078648--0.52001949) × cos(1.41258837) × R
    0.000766990000000023 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 769.861143284674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41270916)-sin(1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157429515170146-0.157548797797418)×R²
    abs(-0.52001949--0.52078648)×0.000119282627272455×R²
    0.000766990000000023×0.000119282627272455×6371000²
    0.000766990000000023×0.000119282627272455×40589641000000     		ar = 592224.746255745m²