Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34168 / 36264
↖ ↑ ↗
← S 18.854310°
E  7.690430°		 ← 578.01 m → S 18.854310°
E  7.695923°		 →
↑
578.04 m
↓
↑
578.04 m
↓
S 18.859509°
E  7.690430°		 ← 578 m →
334 111 m²		 S 18.859509°
E  7.695923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521369934082031 y=0.553352355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521369934082031 × 216)
    floor (0.521369934082031 × 65536)
    floor (34168.5)     		tx = 34168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553352355957031 × 216)
    floor (0.553352355957031 × 65536)
    floor (36264.5)     		ty = 36264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34168 / 36264 ti = "16/34168/36264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34168/36264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34168 ÷ 216
    34168 ÷ 65536     		x = 0.5213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36264 ÷ 216
    36264 ÷ 65536     		y = 0.5533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5213623046875 × 2 - 1) × π
    0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.335174802143433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13422332} λ = 0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335174802143433))-π/2
    2×atan(0.71521305465001)-π/2
    2×0.620863266398051-π/2
    1.2417265327961-1.57079632675     		φ = -0.32906979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32906979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.854310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34168 KachelY 36264 0.13422332 -0.32906979 7.690430 -18.854310
    Oben rechts KachelX + 1 34169 KachelY 36264 0.13431919 -0.32906979 7.695923 -18.854310
    Unten links KachelX 34168 KachelY + 1 36265 0.13422332 -0.32916052 7.690430 -18.859509
    Unten rechts KachelX + 1 34169 KachelY + 1 36265 0.13431919 -0.32916052 7.695923 -18.859509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32906979--0.32916052) × R
    9.07300000000388e-05 × 6371000     		dl = 578.040830000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32906979--0.32916052) × R
    9.07300000000388e-05 × 6371000     		dr = 578.040830000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13422332-0.13431919) × cos(-0.32906979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946343362249595 × 6371000     		do = 578.01495188272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13422332-0.13431919) × cos(-0.32916052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		du = 577.997040859786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32906979)-sin(-0.32916052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946343362249595-0.946314037787297)×R²
    abs(0.13431919-0.13422332)×2.93244622976419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93244622976419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93244622976419e-05×40589641000000     		ar = 334111.066116785m²