Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34167 / 21418
↖ ↑ ↗
← N 76.241286°
W 86.157531°		 ← 72.63 m → N 76.241286°
W 86.154785°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.240632°
W 86.157531°		 ← 72.63 m →
5 275 m²		 N 76.240632°
W 86.154785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260677337646484 y=0.163410186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260677337646484 × 217)
    floor (0.260677337646484 × 131072)
    floor (34167.5)     		tx = 34167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163410186767578 × 217)
    floor (0.163410186767578 × 131072)
    floor (21418.5)     		ty = 21418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34167 / 21418 ti = "17/34167/21418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34167/21418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34167 ÷ 217
    34167 ÷ 131072     		x = 0.260673522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21418 ÷ 217
    21418 ÷ 131072     		y = 0.163406372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260673522949219 × 2 - 1) × π
    -0.478652954101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.50373260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163406372070312 × 2 - 1) × π
    0.673187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11488013743764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50373260} λ = -1.50373260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11488013743764))-π/2
    2×atan(8.28859221467438)-π/2
    2×1.4507288951418-π/2
    2.9014577902836-1.57079632675     		φ = 1.33066146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50373260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.157531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33066146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.241286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34167 KachelY 21418 -1.50373260 1.33066146 -86.157531 76.241286
    Oben rechts KachelX + 1 34168 KachelY 21418 -1.50368467 1.33066146 -86.154785 76.241286
    Unten links KachelX 34167 KachelY + 1 21419 -1.50373260 1.33065006 -86.157531 76.240632
    Unten rechts KachelX + 1 34168 KachelY + 1 21419 -1.50368467 1.33065006 -86.154785 76.240632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33066146-1.33065006) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33066146-1.33065006) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50373260--1.50368467) × cos(1.33066146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237833625504374 × 6371000     		do = 72.62535868632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50373260--1.50368467) × cos(1.33065006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237844698376269 × 6371000     		du = 72.6287399209596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33066146)-sin(1.33065006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237833625504374-0.237844698376269)×R²
    abs(-1.50368467--1.50373260)×1.10728718945574e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10728718945574e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10728718945574e-05×40589641000000     		ar = 5274.85901473292m²