Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34166 / 36278
↖ ↑ ↗
← S 18.927072°
E  7.679443°		 ← 577.82 m → S 18.927072°
E  7.684937°		 →
↑
577.79 m
↓
↑
577.79 m
↓
S 18.932268°
E  7.679443°		 ← 577.81 m →
333 853 m²		 S 18.932268°
E  7.684937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521339416503906 y=0.553565979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521339416503906 × 216)
    floor (0.521339416503906 × 65536)
    floor (34166.5)     		tx = 34166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553565979003906 × 216)
    floor (0.553565979003906 × 65536)
    floor (36278.5)     		ty = 36278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34166 / 36278 ti = "16/34166/36278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34166/36278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34166 ÷ 216
    34166 ÷ 65536     		x = 0.521331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36278 ÷ 216
    36278 ÷ 65536     		y = 0.553558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521331787109375 × 2 - 1) × π
    0.04266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13403157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.10711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.336517035332794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13403157} λ = 0.13403157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336517035332794))-π/2
    2×atan(0.714253715922761)-π/2
    2×0.620228297556953-π/2
    1.24045659511391-1.57079632675     		φ = -0.33033973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13403157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33033973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.927072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34166 KachelY 36278 0.13403157 -0.33033973 7.679443 -18.927072
    Oben rechts KachelX + 1 34167 KachelY 36278 0.13412745 -0.33033973 7.684937 -18.927072
    Unten links KachelX 34166 KachelY + 1 36279 0.13403157 -0.33043042 7.679443 -18.932268
    Unten rechts KachelX + 1 34167 KachelY + 1 36279 0.13412745 -0.33043042 7.684937 -18.932268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33033973--0.33043042) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dl = 577.785990000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33033973--0.33043042) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dr = 577.785990000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13403157-0.13412745) × cos(-0.33033973) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.945932201798033 × 6371000     		do = 577.82408544811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13403157-0.13412745) × cos(-0.33043042) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.94590278129986 × 6371000     		du = 577.806113893259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33033973)-sin(-0.33043042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945932201798033-0.94590278129986)×R²
    abs(0.13412745-0.13403157)×2.94204981734492e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.94204981734492e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.94204981734492e-05×40589641000000     		ar = 333853.469628933m²