Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34154 / 34713
↖ ↑ ↗
← S 10.622817°
E  7.613526°		 ← 600.32 m → S 10.622817°
E  7.619019°		 →
↑
600.34 m
↓
↑
600.34 m
↓
S 10.628216°
E  7.613526°		 ← 600.31 m →
360 393 m²		 S 10.628216°
E  7.619019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521156311035156 y=0.529685974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521156311035156 × 216)
    floor (0.521156311035156 × 65536)
    floor (34154.5)     		tx = 34154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529685974121094 × 216)
    floor (0.529685974121094 × 65536)
    floor (34713.5)     		ty = 34713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34154 / 34713 ti = "16/34154/34713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34154/34713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34154 ÷ 216
    34154 ÷ 65536     		x = 0.521148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34713 ÷ 216
    34713 ÷ 65536     		y = 0.529678344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521148681640625 × 2 - 1) × π
    0.04229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13288109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529678344726562 × 2 - 1) × π
    -0.059356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.186474539522018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13288109} λ = 0.13288109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186474539522018))-π/2
    2×atan(0.829879690815965)-π/2
    2×0.692696595952773-π/2
    1.38539319190555-1.57079632675     		φ = -0.18540313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13288109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.613526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18540313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.622817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34154 KachelY 34713 0.13288109 -0.18540313 7.613526 -10.622817
    Oben rechts KachelX + 1 34155 KachelY 34713 0.13297696 -0.18540313 7.619019 -10.622817
    Unten links KachelX 34154 KachelY + 1 34714 0.13288109 -0.18549736 7.613526 -10.628216
    Unten rechts KachelX + 1 34155 KachelY + 1 34714 0.13297696 -0.18549736 7.619019 -10.628216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18540313--0.18549736) × R
    9.42300000000007e-05 × 6371000     		dl = 600.339330000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18540313--0.18549736) × R
    9.42300000000007e-05 × 6371000     		dr = 600.339330000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13288109-0.13297696) × cos(-0.18540313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982862016395829 × 6371000     		do = 600.320099212099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13288109-0.13297696) × cos(-0.18549736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982844641413109 × 6371000     		du = 600.30948678515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18540313)-sin(-0.18549736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982862016395829-0.982844641413109)×R²
    abs(0.13297696-0.13288109)×1.73749827193648e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73749827193648e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73749827193648e-05×40589641000000     		ar = 360392.580884545m²