Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34152 / 36248
↖ ↑ ↗
← S 18.771115°
E  7.602539°		 ← 578.30 m → S 18.771115°
E  7.608032°		 →
↑
578.36 m
↓
↑
578.36 m
↓
S 18.776316°
E  7.602539°		 ← 578.28 m →
334 461 m²		 S 18.776316°
E  7.608032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521125793457031 y=0.553108215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521125793457031 × 216)
    floor (0.521125793457031 × 65536)
    floor (34152.5)     		tx = 34152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553108215332031 × 216)
    floor (0.553108215332031 × 65536)
    floor (36248.5)     		ty = 36248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34152 / 36248 ti = "16/34152/36248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34152/36248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34152 ÷ 216
    34152 ÷ 65536     		x = 0.5211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36248 ÷ 216
    36248 ÷ 65536     		y = 0.5531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5211181640625 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13268934} λ = 0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333640821355591))-π/2
    2×atan(0.716311019648362)-π/2
    2×0.621589282347722-π/2
    1.24317856469544-1.57079632675     		φ = -0.32761776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32761776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.771115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34152 KachelY 36248 0.13268934 -0.32761776 7.602539 -18.771115
    Oben rechts KachelX + 1 34153 KachelY 36248 0.13278521 -0.32761776 7.608032 -18.771115
    Unten links KachelX 34152 KachelY + 1 36249 0.13268934 -0.32770854 7.602539 -18.776316
    Unten rechts KachelX + 1 34153 KachelY + 1 36249 0.13278521 -0.32770854 7.608032 -18.776316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32761776--0.32770854) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dl = 578.35938000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32761776--0.32770854) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dr = 578.35938000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13268934-0.13278521) × cos(-0.32761776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946811606636437 × 6371000     		do = 578.300949827574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13268934-0.13278521) × cos(-0.32770854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946782390783174 × 6371000     		du = 578.283105141711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32761776)-sin(-0.32770854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946811606636437-0.946782390783174)×R²
    abs(0.13278521-0.13268934)×2.92158532635423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92158532635423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92158532635423e-05×40589641000000     		ar = 334460.618704664m²