Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34152 / 34674
↖ ↑ ↗
← S 10.412183°
E  7.602539°		 ← 600.73 m → S 10.412183°
E  7.608032°		 →
↑
600.72 m
↓
↑
600.72 m
↓
S 10.417586°
E  7.602539°		 ← 600.72 m →
360 868 m²		 S 10.417586°
E  7.608032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521125793457031 y=0.529090881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521125793457031 × 216)
    floor (0.521125793457031 × 65536)
    floor (34152.5)     		tx = 34152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529090881347656 × 216)
    floor (0.529090881347656 × 65536)
    floor (34674.5)     		ty = 34674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34152 / 34674 ti = "16/34152/34674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34152/34674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34152 ÷ 216
    34152 ÷ 65536     		x = 0.5211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34674 ÷ 216
    34674 ÷ 65536     		y = 0.529083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5211181640625 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.05816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182735461351654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13268934} λ = 0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182735461351654))-π/2
    2×atan(0.832988484240813)-π/2
    2×0.694534724180291-π/2
    1.38906944836058-1.57079632675     		φ = -0.18172688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18172688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.412183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34152 KachelY 34674 0.13268934 -0.18172688 7.602539 -10.412183
    Oben rechts KachelX + 1 34153 KachelY 34674 0.13278521 -0.18172688 7.608032 -10.412183
    Unten links KachelX 34152 KachelY + 1 34675 0.13268934 -0.18182117 7.602539 -10.417586
    Unten rechts KachelX + 1 34153 KachelY + 1 34675 0.13278521 -0.18182117 7.608032 -10.417586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18172688--0.18182117) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dl = 600.72158999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18172688--0.18182117) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dr = 600.72158999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13268934-0.13278521) × cos(-0.18172688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9835330633851 × 6371000     		do = 600.729966506241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13268934-0.13278521) × cos(-0.18182117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983516018142971 × 6371000     		du = 600.719555480812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18172688)-sin(-0.18182117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9835330633851-0.983516018142971)×R²
    abs(0.13278521-0.13268934)×1.70452421287548e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70452421287548e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70452421287548e-05×40589641000000     		ar = 360868.333843731m²