Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3415 / 853
↖ ↑ ↗
← N 80.495859°
W 29.926758°		 ← 806.85 m → N 80.495859°
W 29.882813°		 →
↑
807.14 m
↓
↑
807.14 m
↓
N 80.488600°
W 29.926758°		 ← 807.46 m →
651 491 m²		 N 80.488600°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41693115234375 y=0.10418701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41693115234375 × 213)
    floor (0.41693115234375 × 8192)
    floor (3415.5)     		tx = 3415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10418701171875 × 213)
    floor (0.10418701171875 × 8192)
    floor (853.5)     		ty = 853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3415 / 853 ti = "13/3415/853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3415/853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3415 ÷ 213
    3415 ÷ 8192     		x = 0.4168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 853 ÷ 213
    853 ÷ 8192     		y = 0.1041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52232046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1041259765625 × 2 - 1) × π
    0.791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48734984748547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52232046} λ = -0.52232046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48734984748547))-π/2
    2×atan(12.0293542168454)-π/2
    2×1.48785704717293-π/2
    2.97571409434586-1.57079632675     		φ = 1.40491777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52232046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.926758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40491777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.495859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3415 KachelY 853 -0.52232046 1.40491777 -29.926758 80.495859
    Oben rechts KachelX + 1 3416 KachelY 853 -0.52155347 1.40491777 -29.882813 80.495859
    Unten links KachelX 3415 KachelY + 1 854 -0.52232046 1.40479108 -29.926758 80.488600
    Unten rechts KachelX + 1 3416 KachelY + 1 854 -0.52155347 1.40479108 -29.882813 80.488600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40491777-1.40479108) × R
    0.000126689999999874 × 6371000     		dl = 807.141989999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40491777-1.40479108) × R
    0.000126689999999874 × 6371000     		dr = 807.141989999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52232046--0.52155347) × cos(1.40491777) × R
    0.000766990000000023 × 0.16511889203763 × 6371000     		do = 806.852357994137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52232046--0.52155347) × cos(1.40479108) × R
    0.000766990000000023 × 0.165243841723398 × 6371000     		du = 807.46292379523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40491777)-sin(1.40479108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16511889203763-0.165243841723398)×R²
    abs(-0.52155347--0.52232046)×0.000124949685768094×R²
    0.000766990000000023×0.000124949685768094×6371000²
    0.000766990000000023×0.000124949685768094×40589641000000     		ar = 651490.825386474m²