Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34147 / 34424
↖ ↑ ↗
← S  9.058702°
E  7.575073°		 ← 603.17 m → S  9.058702°
E  7.580566°		 →
↑
603.21 m
↓
↑
603.21 m
↓
S  9.064127°
E  7.575073°		 ← 603.16 m →
363 833 m²		 S  9.064127°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521049499511719 y=0.525276184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521049499511719 × 216)
    floor (0.521049499511719 × 65536)
    floor (34147.5)     		tx = 34147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525276184082031 × 216)
    floor (0.525276184082031 × 65536)
    floor (34424.5)     		ty = 34424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34147 / 34424 ti = "16/34147/34424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34147/34424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34147 ÷ 216
    34147 ÷ 65536     		x = 0.521041870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34424 ÷ 216
    34424 ÷ 65536     		y = 0.5252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521041870117188 × 2 - 1) × π
    0.042083740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13220997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.158767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13220997} λ = 0.13220997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158767011541626))-π/2
    2×atan(0.85319512042947)-π/2
    2×0.706346074106412-π/2
    1.41269214821282-1.57079632675     		φ = -0.15810418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13220997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.575073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15810418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.058702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34147 KachelY 34424 0.13220997 -0.15810418 7.575073 -9.058702
    Oben rechts KachelX + 1 34148 KachelY 34424 0.13230584 -0.15810418 7.580566 -9.058702
    Unten links KachelX 34147 KachelY + 1 34425 0.13220997 -0.15819886 7.575073 -9.064127
    Unten rechts KachelX + 1 34148 KachelY + 1 34425 0.13230584 -0.15819886 7.580566 -9.064127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15810418--0.15819886) × R
    9.46799999999859e-05 × 6371000     		dl = 603.20627999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15810418--0.15819886) × R
    9.46799999999859e-05 × 6371000     		dr = 603.20627999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13220997-0.13230584) × cos(-0.15810418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987527547724382 × 6371000     		do = 603.169748688131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13220997-0.13230584) × cos(-0.15819886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987512636280938 × 6371000     		du = 603.160640960842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15810418)-sin(-0.15819886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987527547724382-0.987512636280938)×R²
    abs(0.13230584-0.13220997)×1.4911443443455e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4911443443455e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4911443443455e-05×40589641000000     		ar = 363833.033667332m²