Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34146 / 36195
↖ ↑ ↗
← S 18.495238°
E  7.569580°		 ← 579.24 m → S 18.495238°
E  7.575073°		 →
↑
579.25 m
↓
↑
579.25 m
↓
S 18.500447°
E  7.569580°		 ← 579.22 m →
335 521 m²		 S 18.500447°
E  7.575073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521034240722656 y=0.552299499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521034240722656 × 216)
    floor (0.521034240722656 × 65536)
    floor (34146.5)     		tx = 34146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552299499511719 × 216)
    floor (0.552299499511719 × 65536)
    floor (36195.5)     		ty = 36195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34146 / 36195 ti = "16/34146/36195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34146/36195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34146 ÷ 216
    34146 ÷ 65536     		x = 0.521026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36195 ÷ 216
    36195 ÷ 65536     		y = 0.552291870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521026611328125 × 2 - 1) × π
    0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552291870117188 × 2 - 1) × π
    -0.104583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.328559509995865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13211410} λ = 0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328559509995865))-π/2
    2×atan(0.719960082129437)-π/2
    2×0.623996763049103-π/2
    1.24799352609821-1.57079632675     		φ = -0.32280280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32280280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.495238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34146 KachelY 36195 0.13211410 -0.32280280 7.569580 -18.495238
    Oben rechts KachelX + 1 34147 KachelY 36195 0.13220997 -0.32280280 7.575073 -18.495238
    Unten links KachelX 34146 KachelY + 1 36196 0.13211410 -0.32289372 7.569580 -18.500447
    Unten rechts KachelX + 1 34147 KachelY + 1 36196 0.13220997 -0.32289372 7.575073 -18.500447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32280280--0.32289372) × R
    9.09199999999943e-05 × 6371000     		dl = 579.251319999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32280280--0.32289372) × R
    9.09199999999943e-05 × 6371000     		dr = 579.251319999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13211410-0.13220997) × cos(-0.32280280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948350023634571 × 6371000     		do = 579.240596115194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13211410-0.13220997) × cos(-0.32289372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948321177541623 × 6371000     		du = 579.22297727441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32280280)-sin(-0.32289372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948350023634571-0.948321177541623)×R²
    abs(0.13220997-0.13211410)×2.88460929476209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88460929476209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88460929476209e-05×40589641000000     		ar = 335520.777259967m²