Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34146 / 34700
↖ ↑ ↗
← S 10.552622°
E  7.569580°		 ← 600.46 m → S 10.552622°
E  7.575073°		 →
↑
600.47 m
↓
↑
600.47 m
↓
S 10.558022°
E  7.569580°		 ← 600.45 m →
360 552 m²		 S 10.558022°
E  7.575073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521034240722656 y=0.529487609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521034240722656 × 216)
    floor (0.521034240722656 × 65536)
    floor (34146.5)     		tx = 34146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529487609863281 × 216)
    floor (0.529487609863281 × 65536)
    floor (34700.5)     		ty = 34700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34146 / 34700 ti = "16/34146/34700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34146/34700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34146 ÷ 216
    34146 ÷ 65536     		x = 0.521026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34700 ÷ 216
    34700 ÷ 65536     		y = 0.52947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521026611328125 × 2 - 1) × π
    0.04205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13211410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.185228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13211410} λ = 0.13211410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185228180131897))-π/2
    2×atan(0.83091466400158)-π/2
    2×0.69330916581918-π/2
    1.38661833163836-1.57079632675     		φ = -0.18417800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13211410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18417800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.552622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34146 KachelY 34700 0.13211410 -0.18417800 7.569580 -10.552622
    Oben rechts KachelX + 1 34147 KachelY 34700 0.13220997 -0.18417800 7.575073 -10.552622
    Unten links KachelX 34146 KachelY + 1 34701 0.13211410 -0.18427225 7.569580 -10.558022
    Unten rechts KachelX + 1 34147 KachelY + 1 34701 0.13220997 -0.18427225 7.575073 -10.558022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18417800--0.18427225) × R
    9.42499999999902e-05 × 6371000     		dl = 600.466749999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18417800--0.18427225) × R
    9.42499999999902e-05 × 6371000     		dr = 600.466749999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13211410-0.13220997) × cos(-0.18417800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983087122586634 × 6371000     		do = 600.457591320393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13211410-0.13220997) × cos(-0.18427225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983069857416822 × 6371000     		du = 600.447045965826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18417800)-sin(-0.18427225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983087122586634-0.983069857416822)×R²
    abs(0.13220997-0.13211410)×1.72651698114867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72651698114867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72651698114867e-05×40589641000000     		ar = 360551.65257239m²