Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34141 / 34304
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
E  7.542114°		 ← 604.22 m → S  8.407168°
E  7.547607°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
S  8.412602°
E  7.542114°		 ← 604.22 m →
365 085 m²		 S  8.412602°
E  7.547607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520957946777344 y=0.523445129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520957946777344 × 216)
    floor (0.520957946777344 × 65536)
    floor (34141.5)     		tx = 34141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523445129394531 × 216)
    floor (0.523445129394531 × 65536)
    floor (34304.5)     		ty = 34304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34141 / 34304 ti = "16/34141/34304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34141/34304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34141 ÷ 216
    34141 ÷ 65536     		x = 0.520950317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34304 ÷ 216
    34304 ÷ 65536     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520950317382812 × 2 - 1) × π
    0.041900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13163473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13163473} λ = 0.13163473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13163473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.542114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34141 KachelY 34304 0.13163473 -0.14673277 7.542114 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 34142 KachelY 34304 0.13173060 -0.14673277 7.547607 -8.407168
    Unten links KachelX 34141 KachelY + 1 34305 0.13163473 -0.14682761 7.542114 -8.412602
    Unten rechts KachelX + 1 34142 KachelY + 1 34305 0.13173060 -0.14682761 7.547607 -8.412602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.14682761) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dl = 604.225639999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.14682761) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dr = 604.225639999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13163473-0.13173060) × cos(-0.14673277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 604.224274160596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13163473-0.13173060) × cos(-0.14682761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989240177657213 × 6371000     		du = 604.215802105639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.14682761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.989240177657213)×R²
    abs(0.13173060-0.13163473)×1.38707016942297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38707016942297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38707016942297e-05×40589641000000     		ar = 365085.239515306m²