Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34137 / 34380
↖ ↑ ↗
← S  8.819939°
E  7.520142°		 ← 603.57 m → S  8.819939°
E  7.525634°		 →
↑
603.59 m
↓
↑
603.59 m
↓
S  8.825367°
E  7.520142°		 ← 603.56 m →
364 302 m²		 S  8.825367°
E  7.525634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520896911621094 y=0.524604797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520896911621094 × 216)
    floor (0.520896911621094 × 65536)
    floor (34137.5)     		tx = 34137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524604797363281 × 216)
    floor (0.524604797363281 × 65536)
    floor (34380.5)     		ty = 34380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34137 / 34380 ti = "16/34137/34380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34137/34380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34137 ÷ 216
    34137 ÷ 65536     		x = 0.520889282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34380 ÷ 216
    34380 ÷ 65536     		y = 0.52459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520889282226562 × 2 - 1) × π
    0.041778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13125123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.154548564375061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13125123} λ = 0.13125123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154548564375061))-π/2
    2×atan(0.856801881083791)-π/2
    2×0.70842967633795-π/2
    1.4168593526759-1.57079632675     		φ = -0.15393697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13125123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.520142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15393697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.819939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34137 KachelY 34380 0.13125123 -0.15393697 7.520142 -8.819939
    Oben rechts KachelX + 1 34138 KachelY 34380 0.13134710 -0.15393697 7.525634 -8.819939
    Unten links KachelX 34137 KachelY + 1 34381 0.13125123 -0.15403171 7.520142 -8.825367
    Unten rechts KachelX + 1 34138 KachelY + 1 34381 0.13134710 -0.15403171 7.525634 -8.825367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15393697--0.15403171) × R
    9.47399999999821e-05 × 6371000     		dl = 603.588539999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15393697--0.15403171) × R
    9.47399999999821e-05 × 6371000     		dr = 603.588539999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13125123-0.13134710) × cos(-0.15393697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988175083177625 × 6371000     		do = 603.565255423613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13125123-0.13134710) × cos(-0.15403171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988160552284605 × 6371000     		du = 603.556380131869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15393697)-sin(-0.15403171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988175083177625-0.988160552284605)×R²
    abs(0.13134710-0.13125123)×1.45308930195043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45308930195043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45308930195043e-05×40589641000000     		ar = 364302.393076013m²