Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34125 / 34769
↖ ↑ ↗
← S 10.925011°
E  7.454224°		 ← 599.72 m → S 10.925011°
E  7.459717°		 →
↑
599.77 m
↓
↑
599.77 m
↓
S 10.930405°
E  7.454224°		 ← 599.71 m →
359 687 m²		 S 10.930405°
E  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520713806152344 y=0.530540466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520713806152344 × 216)
    floor (0.520713806152344 × 65536)
    floor (34125.5)     		tx = 34125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530540466308594 × 216)
    floor (0.530540466308594 × 65536)
    floor (34769.5)     		ty = 34769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34125 / 34769 ti = "16/34125/34769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34125/34769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34125 ÷ 216
    34125 ÷ 65536     		x = 0.520706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34769 ÷ 216
    34769 ÷ 65536     		y = 0.530532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520706176757812 × 2 - 1) × π
    0.041412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13010075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530532836914062 × 2 - 1) × π
    -0.061065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.191843472279465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13010075} λ = 0.13010075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191843472279465))-π/2
    2×atan(0.825436062005469)-π/2
    2×0.690059453389985-π/2
    1.38011890677997-1.57079632675     		φ = -0.19067742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13010075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.454224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19067742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.925011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34125 KachelY 34769 0.13010075 -0.19067742 7.454224 -10.925011
    Oben rechts KachelX + 1 34126 KachelY 34769 0.13019662 -0.19067742 7.459717 -10.925011
    Unten links KachelX 34125 KachelY + 1 34770 0.13010075 -0.19077156 7.454224 -10.930405
    Unten rechts KachelX + 1 34126 KachelY + 1 34770 0.13019662 -0.19077156 7.459717 -10.930405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19067742--0.19077156) × R
    9.41400000000203e-05 × 6371000     		dl = 599.765940000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19067742--0.19077156) × R
    9.41400000000203e-05 × 6371000     		dr = 599.765940000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13010075-0.13019662) × cos(-0.19067742) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.98187607301461 × 6371000     		do = 599.717897053111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13010075-0.13019662) × cos(-0.19077156) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.9818582268668 × 6371000     		du = 599.706996844288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19067742)-sin(-0.19077156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98187607301461-0.9818582268668)×R²
    abs(0.13019662-0.13010075)×1.78461478091974e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.78461478091974e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.78461478091974e-05×40589641000000     		ar = 359687.099739615m²