Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34125 / 34375
↖ ↑ ↗
← S  8.792797°
E  7.454224°		 ← 603.61 m → S  8.792797°
E  7.459717°		 →
↑
603.59 m
↓
↑
603.59 m
↓
S  8.798225°
E  7.454224°		 ← 603.60 m →
364 329 m²		 S  8.798225°
E  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520713806152344 y=0.524528503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520713806152344 × 216)
    floor (0.520713806152344 × 65536)
    floor (34125.5)     		tx = 34125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524528503417969 × 216)
    floor (0.524528503417969 × 65536)
    floor (34375.5)     		ty = 34375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34125 / 34375 ti = "16/34125/34375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34125/34375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34125 ÷ 216
    34125 ÷ 65536     		x = 0.520706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34375 ÷ 216
    34375 ÷ 65536     		y = 0.524520874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520706176757812 × 2 - 1) × π
    0.041412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13010075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524520874023438 × 2 - 1) × π
    -0.049041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15406919537886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13010075} λ = 0.13010075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15406919537886))-π/2
    2×atan(0.857212703801439)-π/2
    2×0.708666535282427-π/2
    1.41733307056485-1.57079632675     		φ = -0.15346326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13010075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.454224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15346326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.792797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34125 KachelY 34375 0.13010075 -0.15346326 7.454224 -8.792797
    Oben rechts KachelX + 1 34126 KachelY 34375 0.13019662 -0.15346326 7.459717 -8.792797
    Unten links KachelX 34125 KachelY + 1 34376 0.13010075 -0.15355800 7.454224 -8.798225
    Unten rechts KachelX + 1 34126 KachelY + 1 34376 0.13019662 -0.15355800 7.459717 -8.798225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15346326--0.15355800) × R
    9.47400000000098e-05 × 6371000     		dl = 603.588540000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15346326--0.15355800) × R
    9.47400000000098e-05 × 6371000     		dr = 603.588540000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13010075-0.13019662) × cos(-0.15346326) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.988247606125767 × 6371000     		do = 603.609551553557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13010075-0.13019662) × cos(-0.15355800) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.988233119582641 × 6371000     		du = 603.600703350186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15346326)-sin(-0.15355800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988247606125767-0.988233119582641)×R²
    abs(0.13019662-0.13010075)×1.44865431253027e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.44865431253027e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.44865431253027e-05×40589641000000     		ar = 364329.137887706m²