Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34122 / 36270
↖ ↑ ↗
← S 18.885498°
E  7.437744°		 ← 577.97 m → S 18.885498°
E  7.443237°		 →
↑
577.91 m
↓
↑
577.91 m
↓
S 18.890695°
E  7.437744°		 ← 577.95 m →
334 010 m²		 S 18.890695°
E  7.443237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520668029785156 y=0.553443908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520668029785156 × 216)
    floor (0.520668029785156 × 65536)
    floor (34122.5)     		tx = 34122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553443908691406 × 216)
    floor (0.553443908691406 × 65536)
    floor (36270.5)     		ty = 36270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34122 / 36270 ti = "16/34122/36270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34122/36270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34122 ÷ 216
    34122 ÷ 65536     		x = 0.520660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36270 ÷ 216
    36270 ÷ 65536     		y = 0.553436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.10687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.335750044938873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12981312} λ = 0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335750044938873))-π/2
    2×atan(0.714801751803958)-π/2
    2×0.62059110310926-π/2
    1.24118220621852-1.57079632675     		φ = -0.32961412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32961412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.885498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34122 KachelY 36270 0.12981312 -0.32961412 7.437744 -18.885498
    Oben rechts KachelX + 1 34123 KachelY 36270 0.12990900 -0.32961412 7.443237 -18.885498
    Unten links KachelX 34122 KachelY + 1 36271 0.12981312 -0.32970483 7.437744 -18.890695
    Unten rechts KachelX + 1 34123 KachelY + 1 36271 0.12990900 -0.32970483 7.443237 -18.890695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32961412--0.32970483) × R
    9.07099999999939e-05 × 6371000     		dl = 577.913409999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32961412--0.32970483) × R
    9.07099999999939e-05 × 6371000     		dr = 577.913409999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12981312-0.12990900) × cos(-0.32961412) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.946167314814633 × 6371000     		do = 577.9677045821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12981312-0.12990900) × cos(-0.32970483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.946137950095565 × 6371000     		du = 577.949767099997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32961412)-sin(-0.32970483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946167314814633-0.946137950095565)×R²
    abs(0.12990900-0.12981312)×2.93647190684476e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.93647190684476e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.93647190684476e-05×40589641000000     		ar = 334010.10409824m²