Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34119 / 34374
↖ ↑ ↗
← S  8.787368°
E  7.421264°		 ← 603.68 m → S  8.787368°
E  7.426758°		 →
↑
603.65 m
↓
↑
603.65 m
↓
S  8.792797°
E  7.421264°		 ← 603.67 m →
364 411 m²		 S  8.792797°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520622253417969 y=0.524513244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520622253417969 × 216)
    floor (0.520622253417969 × 65536)
    floor (34119.5)     		tx = 34119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524513244628906 × 216)
    floor (0.524513244628906 × 65536)
    floor (34374.5)     		ty = 34374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34119 / 34374 ti = "16/34119/34374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34119/34374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34119 ÷ 216
    34119 ÷ 65536     		x = 0.520614624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34374 ÷ 216
    34374 ÷ 65536     		y = 0.524505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520614624023438 × 2 - 1) × π
    0.041229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12952550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12952550} λ = 0.12952550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15397332157962))-π/2
    2×atan(0.857294891979893)-π/2
    2×0.708713909155819-π/2
    1.41742781831164-1.57079632675     		φ = -0.15336851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12952550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.421264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15336851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.787368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34119 KachelY 34374 0.12952550 -0.15336851 7.421264 -8.787368
    Oben rechts KachelX + 1 34120 KachelY 34374 0.12962138 -0.15336851 7.426758 -8.787368
    Unten links KachelX 34119 KachelY + 1 34375 0.12952550 -0.15346326 7.421264 -8.792797
    Unten rechts KachelX + 1 34120 KachelY + 1 34375 0.12962138 -0.15346326 7.426758 -8.792797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15336851--0.15346326) × R
    9.47499999999768e-05 × 6371000     		dl = 603.652249999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15336851--0.15346326) × R
    9.47499999999768e-05 × 6371000     		dr = 603.652249999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12952550-0.12962138) × cos(-0.15336851) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.98826208532639 × 6371000     		do = 603.68135744964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12952550-0.12962138) × cos(-0.15346326) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.988247606125767 × 6371000     		du = 603.67251280851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15336851)-sin(-0.15346326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98826208532639-0.988247606125767)×R²
    abs(0.12962138-0.12952550)×1.44792006229189e-05×R²
    9.58800000000204e-05×1.44792006229189e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×1.44792006229189e-05×40589641000000     		ar = 364410.940436302m²