Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34117 / 34381
↖ ↑ ↗
← S  8.825367°
E  7.410279°		 ← 603.56 m → S  8.825367°
E  7.415772°		 →
↑
603.59 m
↓
↑
603.59 m
↓
S  8.830795°
E  7.410279°		 ← 603.55 m →
364 297 m²		 S  8.830795°
E  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520591735839844 y=0.524620056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520591735839844 × 216)
    floor (0.520591735839844 × 65536)
    floor (34117.5)     		tx = 34117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524620056152344 × 216)
    floor (0.524620056152344 × 65536)
    floor (34381.5)     		ty = 34381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34117 / 34381 ti = "16/34117/34381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34117/34381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34117 ÷ 216
    34117 ÷ 65536     		x = 0.520584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34381 ÷ 216
    34381 ÷ 65536     		y = 0.524612426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520584106445312 × 2 - 1) × π
    0.041168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12933376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524612426757812 × 2 - 1) × π
    -0.049224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154644438174301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12933376} λ = 0.12933376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154644438174301))-π/2
    2×atan(0.856719740169899)-π/2
    2×0.708382306636458-π/2
    1.41676461327292-1.57079632675     		φ = -0.15403171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12933376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.410279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15403171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.825367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34117 KachelY 34381 0.12933376 -0.15403171 7.410279 -8.825367
    Oben rechts KachelX + 1 34118 KachelY 34381 0.12942963 -0.15403171 7.415772 -8.825367
    Unten links KachelX 34117 KachelY + 1 34382 0.12933376 -0.15412645 7.410279 -8.830795
    Unten rechts KachelX + 1 34118 KachelY + 1 34382 0.12942963 -0.15412645 7.415772 -8.830795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15403171--0.15412645) × R
    9.47400000000098e-05 × 6371000     		dl = 603.588540000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15403171--0.15412645) × R
    9.47400000000098e-05 × 6371000     		dr = 603.588540000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12933376-0.12942963) × cos(-0.15403171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988160552284605 × 6371000     		do = 603.556380131869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12933376-0.12942963) × cos(-0.15412645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988146012522185 × 6371000     		du = 603.547499422804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15403171)-sin(-0.15412645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988160552284605-0.988146012522185)×R²
    abs(0.12942963-0.12933376)×1.45397624201626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45397624201626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45397624201626e-05×40589641000000     		ar = 364297.03441691m²