Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34116 / 34436
↖ ↑ ↗
← S  9.123792°
E  7.404785°		 ← 603.12 m → S  9.123792°
E  7.410279°		 →
↑
603.08 m
↓
↑
603.08 m
↓
S  9.129216°
E  7.404785°		 ← 603.11 m →
363 728 m²		 S  9.129216°
E  7.410279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520576477050781 y=0.525459289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520576477050781 × 216)
    floor (0.520576477050781 × 65536)
    floor (34116.5)     		tx = 34116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525459289550781 × 216)
    floor (0.525459289550781 × 65536)
    floor (34436.5)     		ty = 34436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34116 / 34436 ti = "16/34116/34436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34116/34436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34116 ÷ 216
    34116 ÷ 65536     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34436 ÷ 216
    34436 ÷ 65536     		y = 0.52545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159917497132507))-π/2
    2×atan(0.85221409617255)-π/2
    2×0.705778057568081-π/2
    1.41155611513616-1.57079632675     		φ = -0.15924021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15924021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.123792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34116 KachelY 34436 0.12923788 -0.15924021 7.404785 -9.123792
    Oben rechts KachelX + 1 34117 KachelY 34436 0.12933376 -0.15924021 7.410279 -9.123792
    Unten links KachelX 34116 KachelY + 1 34437 0.12923788 -0.15933487 7.404785 -9.129216
    Unten rechts KachelX + 1 34117 KachelY + 1 34437 0.12933376 -0.15933487 7.410279 -9.129216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15924021--0.15933487) × R
    9.46599999999964e-05 × 6371000     		dl = 603.078859999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15924021--0.15933487) × R
    9.46599999999964e-05 × 6371000     		dr = 603.078859999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12933376) × cos(-0.15924021) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.987348046790498 × 6371000     		do = 603.123015657039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12933376) × cos(-0.15933487) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98733303231294 × 6371000     		du = 603.113844041201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15924021)-sin(-0.15933487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987348046790498-0.98733303231294)×R²
    abs(0.12933376-0.12923788)×1.50144775576955e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.50144775576955e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.50144775576955e-05×40589641000000     		ar = 363727.975389968m²