Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34114 / 21057
↖ ↑ ↗
← N 76.475130°
W 86.303101°		 ← 71.43 m → N 76.475130°
W 86.300354°		 →
↑
71.42 m
↓
↑
71.42 m
↓
N 76.474488°
W 86.303101°		 ← 71.43 m →
5 102 m²		 N 76.474488°
W 86.300354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260272979736328 y=0.160655975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260272979736328 × 217)
    floor (0.260272979736328 × 131072)
    floor (34114.5)     		tx = 34114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160655975341797 × 217)
    floor (0.160655975341797 × 131072)
    floor (21057.5)     		ty = 21057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34114 / 21057 ti = "17/34114/21057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34114/21057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34114 ÷ 217
    34114 ÷ 131072     		x = 0.260269165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21057 ÷ 217
    21057 ÷ 131072     		y = 0.160652160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260269165039062 × 2 - 1) × π
    -0.479461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50627326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160652160644531 × 2 - 1) × π
    0.678695678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.13218535820048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50627326} λ = -1.50627326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13218535820048))-π/2
    2×atan(8.43327641809817)-π/2
    2×1.45276957249716-π/2
    2.90553914499431-1.57079632675     		φ = 1.33474282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50627326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.303101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33474282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.475130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34114 KachelY 21057 -1.50627326 1.33474282 -86.303101 76.475130
    Oben rechts KachelX + 1 34115 KachelY 21057 -1.50622532 1.33474282 -86.300354 76.475130
    Unten links KachelX 34114 KachelY + 1 21058 -1.50627326 1.33473161 -86.303101 76.474488
    Unten rechts KachelX + 1 34115 KachelY + 1 21058 -1.50622532 1.33473161 -86.300354 76.474488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33474282-1.33473161) × R
    1.12100000000392e-05 × 6371000     		dl = 71.41891000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33474282-1.33473161) × R
    1.12100000000392e-05 × 6371000     		dr = 71.41891000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50627326--1.50622532) × cos(1.33474282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23386740657615 × 6371000     		do = 71.4291257153545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50627326--1.50622532) × cos(1.33473161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23387830569134 × 6371000     		du = 71.432454585677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33474282)-sin(1.33473161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23386740657615-0.23387830569134)×R²
    abs(-1.50622532--1.50627326)×1.08991151907267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08991151907267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08991151907267e-05×40589641000000     		ar = 5101.50917310927m²