Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34108 / 36211
↖ ↑ ↗
← S 18.578569°
E  7.360840°		 ← 578.96 m → S 18.578569°
E  7.366333°		 →
↑
578.93 m
↓
↑
578.93 m
↓
S 18.583776°
E  7.360840°		 ← 578.94 m →
335 173 m²		 S 18.583776°
E  7.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520454406738281 y=0.552543640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520454406738281 × 216)
    floor (0.520454406738281 × 65536)
    floor (34108.5)     		tx = 34108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552543640136719 × 216)
    floor (0.552543640136719 × 65536)
    floor (36211.5)     		ty = 36211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34108 / 36211 ti = "16/34108/36211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34108/36211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34108 ÷ 216
    34108 ÷ 65536     		x = 0.52044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36211 ÷ 216
    36211 ÷ 65536     		y = 0.552536010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52044677734375 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552536010742188 × 2 - 1) × π
    -0.105072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.330093490783707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12847089} λ = 0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.330093490783707))-π/2
    2×atan(0.71885652383045)-π/2
    2×0.623269564895864-π/2
    1.24653912979173-1.57079632675     		φ = -0.32425720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32425720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.578569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34108 KachelY 36211 0.12847089 -0.32425720 7.360840 -18.578569
    Oben rechts KachelX + 1 34109 KachelY 36211 0.12856676 -0.32425720 7.366333 -18.578569
    Unten links KachelX 34108 KachelY + 1 36212 0.12847089 -0.32434807 7.360840 -18.583776
    Unten rechts KachelX + 1 34109 KachelY + 1 36212 0.12856676 -0.32434807 7.366333 -18.583776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32425720--0.32434807) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dl = 578.932769999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32425720--0.32434807) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dr = 578.932769999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12847089-0.12856676) × cos(-0.32425720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947887647525135 × 6371000     		do = 578.958182442411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12847089-0.12856676) × cos(-0.32434807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947858691995032 × 6371000     		du = 578.94049675875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32425720)-sin(-0.32434807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947887647525135-0.947858691995032)×R²
    abs(0.12856676-0.12847089)×2.89555301030697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89555301030697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89555301030697e-05×40589641000000     		ar = 335172.74509518m²