Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34105 / 34773
↖ ↑ ↗
← S 10.946585°
E  7.344360°		 ← 599.67 m → S 10.946585°
E  7.349853°		 →
↑
599.70 m
↓
↑
599.70 m
↓
S 10.951978°
E  7.344360°		 ← 599.66 m →
359 623 m²		 S 10.951978°
E  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520408630371094 y=0.530601501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520408630371094 × 216)
    floor (0.520408630371094 × 65536)
    floor (34105.5)     		tx = 34105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530601501464844 × 216)
    floor (0.530601501464844 × 65536)
    floor (34773.5)     		ty = 34773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34105 / 34773 ti = "16/34105/34773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34105/34773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34105 ÷ 216
    34105 ÷ 65536     		x = 0.520401000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34773 ÷ 216
    34773 ÷ 65536     		y = 0.530593872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520401000976562 × 2 - 1) × π
    0.040802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12818327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530593872070312 × 2 - 1) × π
    -0.061187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192226967476425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12818327} λ = 0.12818327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192226967476425))-π/2
    2×atan(0.825119571930382)-π/2
    2×0.689871187857229-π/2
    1.37974237571446-1.57079632675     		φ = -0.19105395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12818327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.344360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19105395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.946585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34105 KachelY 34773 0.12818327 -0.19105395 7.344360 -10.946585
    Oben rechts KachelX + 1 34106 KachelY 34773 0.12827914 -0.19105395 7.349853 -10.946585
    Unten links KachelX 34105 KachelY + 1 34774 0.12818327 -0.19114808 7.344360 -10.951978
    Unten rechts KachelX + 1 34106 KachelY + 1 34774 0.12827914 -0.19114808 7.349853 -10.951978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19105395--0.19114808) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dl = 599.702229999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19105395--0.19114808) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dr = 599.702229999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12818327-0.12827914) × cos(-0.19105395) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.981804641911453 × 6371000     		do = 599.674267808905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12818327-0.12827914) × cos(-0.19114808) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.981786762860984 × 6371000     		du = 599.66334750354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19105395)-sin(-0.19114808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981804641911453-0.981786762860984)×R²
    abs(0.12827914-0.12818327)×1.78790504689053e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.78790504689053e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.78790504689053e-05×40589641000000     		ar = 359622.721478461m²