Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34105 / 34462
↖ ↑ ↗
← S  9.264779°
E  7.344360°		 ← 602.82 m → S  9.264779°
E  7.349853°		 →
↑
602.89 m
↓
↑
602.89 m
↓
S  9.270201°
E  7.344360°		 ← 602.81 m →
363 430 m²		 S  9.270201°
E  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520408630371094 y=0.525856018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520408630371094 × 216)
    floor (0.520408630371094 × 65536)
    floor (34105.5)     		tx = 34105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525856018066406 × 216)
    floor (0.525856018066406 × 65536)
    floor (34462.5)     		ty = 34462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34105 / 34462 ti = "16/34105/34462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34105/34462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34105 ÷ 216
    34105 ÷ 65536     		x = 0.520401000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34462 ÷ 216
    34462 ÷ 65536     		y = 0.525848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520401000976562 × 2 - 1) × π
    0.040802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12818327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.05169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.16241021591275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12818327} λ = 0.12818327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16241021591275))-π/2
    2×atan(0.850092411570377)-π/2
    2×0.704547711473746-π/2
    1.40909542294749-1.57079632675     		φ = -0.16170090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12818327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.344360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16170090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.264779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34105 KachelY 34462 0.12818327 -0.16170090 7.344360 -9.264779
    Oben rechts KachelX + 1 34106 KachelY 34462 0.12827914 -0.16170090 7.349853 -9.264779
    Unten links KachelX 34105 KachelY + 1 34463 0.12818327 -0.16179553 7.344360 -9.270201
    Unten rechts KachelX + 1 34106 KachelY + 1 34463 0.12827914 -0.16179553 7.349853 -9.270201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16170090--0.16179553) × R
    9.46299999999844e-05 × 6371000     		dl = 602.887729999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16170090--0.16179553) × R
    9.46299999999844e-05 × 6371000     		dr = 602.887729999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12818327-0.12827914) × cos(-0.16170090) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.986954871114721 × 6371000     		do = 602.819964818959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12818327-0.12827914) × cos(-0.16179553) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.986939631535408 × 6371000     		du = 602.810656670295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16170090)-sin(-0.16179553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986954871114721-0.986939631535408)×R²
    abs(0.12827914-0.12818327)×1.52395793137083e-05×R²
    9.58700000000257e-05×1.52395793137083e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×1.52395793137083e-05×40589641000000     		ar = 363429.954575118m²