Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34103 / 34611
↖ ↑ ↗
← S 10.071629°
E  7.333374°		 ← 601.44 m → S 10.071629°
E  7.338867°		 →
↑
601.42 m
↓
↑
601.42 m
↓
S 10.077037°
E  7.333374°		 ← 601.43 m →
361 715 m²		 S 10.077037°
E  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520378112792969 y=0.528129577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520378112792969 × 216)
    floor (0.520378112792969 × 65536)
    floor (34103.5)     		tx = 34103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528129577636719 × 216)
    floor (0.528129577636719 × 65536)
    floor (34611.5)     		ty = 34611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34103 / 34611 ti = "16/34103/34611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34103/34611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34103 ÷ 216
    34103 ÷ 65536     		x = 0.520370483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34611 ÷ 216
    34611 ÷ 65536     		y = 0.528121948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520370483398438 × 2 - 1) × π
    0.040740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12799152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528121948242188 × 2 - 1) × π
    -0.056243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.176695411999527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12799152} λ = 0.12799152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176695411999527))-π/2
    2×atan(0.838035001058372)-π/2
    2×0.697506622596133-π/2
    1.39501324519227-1.57079632675     		φ = -0.17578308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12799152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.333374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17578308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.071629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34103 KachelY 34611 0.12799152 -0.17578308 7.333374 -10.071629
    Oben rechts KachelX + 1 34104 KachelY 34611 0.12808740 -0.17578308 7.338867 -10.071629
    Unten links KachelX 34103 KachelY + 1 34612 0.12799152 -0.17587748 7.333374 -10.077037
    Unten rechts KachelX + 1 34104 KachelY + 1 34612 0.12808740 -0.17587748 7.338867 -10.077037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17578308--0.17587748) × R
    9.43999999999945e-05 × 6371000     		dl = 601.422399999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17578308--0.17587748) × R
    9.43999999999945e-05 × 6371000     		dr = 601.422399999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12799152-0.12808740) × cos(-0.17578308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984589896394305 × 6371000     		do = 601.438195405462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12799152-0.12808740) × cos(-0.17587748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.984573383410475 × 6371000     		du = 601.42810842485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17578308)-sin(-0.17587748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984589896394305-0.984573383410475)×R²
    abs(0.12808740-0.12799152)×1.65129838307632e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.65129838307632e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.65129838307632e-05×40589641000000     		ar = 361715.369932974m²