Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34102 / 34612
↖ ↑ ↗
← S 10.077037°
E  7.327881°		 ← 601.37 m → S 10.077037°
E  7.333374°		 →
↑
601.36 m
↓
↑
601.36 m
↓
S 10.082445°
E  7.327881°		 ← 601.36 m →
361 633 m²		 S 10.082445°
E  7.333374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520362854003906 y=0.528144836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520362854003906 × 216)
    floor (0.520362854003906 × 65536)
    floor (34102.5)     		tx = 34102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528144836425781 × 216)
    floor (0.528144836425781 × 65536)
    floor (34612.5)     		ty = 34612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34102 / 34612 ti = "16/34102/34612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34102/34612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34102 ÷ 216
    34102 ÷ 65536     		x = 0.520355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34612 ÷ 216
    34612 ÷ 65536     		y = 0.52813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520355224609375 × 2 - 1) × π
    0.04071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12789565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.176791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12789565} λ = 0.12789565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176791285798767))-π/2
    2×atan(0.837954659310321)-π/2
    2×0.697459424804855-π/2
    1.39491884960971-1.57079632675     		φ = -0.17587748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12789565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.327881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17587748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.077037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34102 KachelY 34612 0.12789565 -0.17587748 7.327881 -10.077037
    Oben rechts KachelX + 1 34103 KachelY 34612 0.12799152 -0.17587748 7.333374 -10.077037
    Unten links KachelX 34102 KachelY + 1 34613 0.12789565 -0.17597187 7.327881 -10.082445
    Unten rechts KachelX + 1 34103 KachelY + 1 34613 0.12799152 -0.17597187 7.333374 -10.082445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17587748--0.17597187) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dl = 601.358689999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17587748--0.17597187) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dr = 601.358689999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12789565-0.12799152) × cos(-0.17587748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984573383410475 × 6371000     		do = 601.365381254626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12789565-0.12799152) × cos(-0.17597187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984556863403407 × 6371000     		du = 601.355291036348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17587748)-sin(-0.17597187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984573383410475-0.984556863403407)×R²
    abs(0.12799152-0.12789565)×1.65200070677551e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65200070677551e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65200070677551e-05×40589641000000     		ar = 361633.264230875m²