Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34101 / 34323
↖ ↑ ↗
← S  8.510403°
E  7.322387°		 ← 604.13 m → S  8.510403°
E  7.327881°		 →
↑
604.10 m
↓
↑
604.10 m
↓
S  8.515836°
E  7.322387°		 ← 604.12 m →
364 948 m²		 S  8.515836°
E  7.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520347595214844 y=0.523735046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520347595214844 × 216)
    floor (0.520347595214844 × 65536)
    floor (34101.5)     		tx = 34101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523735046386719 × 216)
    floor (0.523735046386719 × 65536)
    floor (34323.5)     		ty = 34323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34101 / 34323 ti = "16/34101/34323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34101/34323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34101 ÷ 216
    34101 ÷ 65536     		x = 0.520339965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34323 ÷ 216
    34323 ÷ 65536     		y = 0.523727416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520339965820312 × 2 - 1) × π
    0.040679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12779977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523727416992188 × 2 - 1) × π
    -0.047454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.149083757818375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12779977} λ = 0.12779977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149083757818375))-π/2
    2×atan(0.861496954771545)-π/2
    2×0.71113088757936-π/2
    1.42226177515872-1.57079632675     		φ = -0.14853455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12779977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.322387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14853455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.510403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34101 KachelY 34323 0.12779977 -0.14853455 7.322387 -8.510403
    Oben rechts KachelX + 1 34102 KachelY 34323 0.12789565 -0.14853455 7.327881 -8.510403
    Unten links KachelX 34101 KachelY + 1 34324 0.12779977 -0.14862937 7.322387 -8.515836
    Unten rechts KachelX + 1 34102 KachelY + 1 34324 0.12789565 -0.14862937 7.327881 -8.515836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14853455--0.14862937) × R
    9.48200000000232e-05 × 6371000     		dl = 604.098220000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14853455--0.14862937) × R
    9.48200000000232e-05 × 6371000     		dr = 604.098220000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12779977-0.12789565) × cos(-0.14853455) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988989010254532 × 6371000     		do = 604.125400617669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12779977-0.12789565) × cos(-0.14862937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.988974973493746 × 6371000     		du = 604.116826241569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14853455)-sin(-0.14862937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988989010254532-0.988974973493746)×R²
    abs(0.12789565-0.12779977)×1.40367607857073e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.40367607857073e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.40367607857073e-05×40589641000000     		ar = 364948.489560765m²