Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3410 / 951
↖ ↑ ↗
← N 79.757749°
W 30.146484°		 ← 868.87 m → N 79.757749°
W 30.102539°		 →
↑
869.20 m
↓
↑
869.20 m
↓
N 79.749932°
W 30.146484°		 ← 869.53 m →
755 503 m²		 N 79.749932°
W 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41632080078125 y=0.11614990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41632080078125 × 213)
    floor (0.41632080078125 × 8192)
    floor (3410.5)     		tx = 3410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11614990234375 × 213)
    floor (0.11614990234375 × 8192)
    floor (951.5)     		ty = 951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3410 / 951 ti = "13/3410/951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3410/951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3410 ÷ 213
    3410 ÷ 8192     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 951 ÷ 213
    951 ÷ 8192     		y = 0.1160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1160888671875 × 2 - 1) × π
    0.767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41218478888123))-π/2
    2×atan(11.1583130918237)-π/2
    2×1.48141582506369-π/2
    2.96283165012739-1.57079632675     		φ = 1.39203532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39203532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.757749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3410 KachelY 951 -0.52615541 1.39203532 -30.146484 79.757749
    Oben rechts KachelX + 1 3411 KachelY 951 -0.52538842 1.39203532 -30.102539 79.757749
    Unten links KachelX 3410 KachelY + 1 952 -0.52615541 1.39189889 -30.146484 79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 3411 KachelY + 1 952 -0.52538842 1.39189889 -30.102539 79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39203532-1.39189889) × R
    0.000136429999999965 × 6371000     		dl = 869.195529999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39203532-1.39189889) × R
    0.000136429999999965 × 6371000     		dr = 869.195529999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.39203532) × R
    0.000766990000000023 × 0.177810460672948 × 6371000     		do = 868.869622970193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.39189889) × R
    0.000766990000000023 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 869.525655702224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39203532)-sin(1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177810460672948-0.177944714972114)×R²
    abs(-0.52538842--0.52615541)×0.00013425429916647×R²
    0.000766990000000023×0.00013425429916647×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013425429916647×40589641000000     		ar = 755502.703969858m²