Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3410 / 945
↖ ↑ ↗
← N 79.804527°
W 30.146484°		 ← 864.94 m → N 79.804527°
W 30.102539°		 →
↑
865.31 m
↓
↑
865.31 m
↓
N 79.796745°
W 30.146484°		 ← 865.60 m →
748 726 m²		 N 79.796745°
W 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41632080078125 y=0.11541748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41632080078125 × 213)
    floor (0.41632080078125 × 8192)
    floor (3410.5)     		tx = 3410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11541748046875 × 213)
    floor (0.11541748046875 × 8192)
    floor (945.5)     		ty = 945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3410 / 945 ti = "13/3410/945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3410/945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3410 ÷ 213
    3410 ÷ 8192     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 945 ÷ 213
    945 ÷ 8192     		y = 0.1153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1153564453125 × 2 - 1) × π
    0.769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41678673124475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41678673124475))-π/2
    2×atan(11.2097813416738)-π/2
    2×1.48182403674322-π/2
    2.96364807348645-1.57079632675     		φ = 1.39285175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39285175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.804527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3410 KachelY 945 -0.52615541 1.39285175 -30.146484 79.804527
    Oben rechts KachelX + 1 3411 KachelY 945 -0.52538842 1.39285175 -30.102539 79.804527
    Unten links KachelX 3410 KachelY + 1 946 -0.52615541 1.39271593 -30.146484 79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 3411 KachelY + 1 946 -0.52538842 1.39271593 -30.102539 79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39285175-1.39271593) × R
    0.000135819999999898 × 6371000     		dl = 865.309219999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39285175-1.39271593) × R
    0.000135819999999898 × 6371000     		dr = 865.309219999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.39285175) × R
    0.000766990000000023 × 0.177006981514605 × 6371000     		do = 864.943427454298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.39271593) × R
    0.000766990000000023 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 865.59662316209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39285175)-sin(1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177006981514605-0.177140655228867)×R²
    abs(-0.52538842--0.52615541)×0.000133673714262261×R²
    0.000766990000000023×0.000133673714262261×6371000²
    0.000766990000000023×0.000133673714262261×40589641000000     		ar = 748726.131836588m²