Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3410 / 857
↖ ↑ ↗
← N 80.466790°
W 30.146484°		 ← 809.30 m → N 80.466790°
W 30.102539°		 →
↑
809.56 m
↓
↑
809.56 m
↓
N 80.459509°
W 30.146484°		 ← 809.91 m →
655 425 m²		 N 80.459509°
W 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41632080078125 y=0.10467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41632080078125 × 213)
    floor (0.41632080078125 × 8192)
    floor (3410.5)     		tx = 3410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10467529296875 × 213)
    floor (0.10467529296875 × 8192)
    floor (857.5)     		ty = 857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3410 / 857 ti = "13/3410/857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3410/857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3410 ÷ 213
    3410 ÷ 8192     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 857 ÷ 213
    857 ÷ 8192     		y = 0.1046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1046142578125 × 2 - 1) × π
    0.790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48428188590979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48428188590979))-π/2
    2×atan(11.9925051749532)-π/2
    2×1.48760337437766-π/2
    2.97520674875531-1.57079632675     		φ = 1.40441042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40441042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.466790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3410 KachelY 857 -0.52615541 1.40441042 -30.146484 80.466790
    Oben rechts KachelX + 1 3411 KachelY 857 -0.52538842 1.40441042 -30.102539 80.466790
    Unten links KachelX 3410 KachelY + 1 858 -0.52615541 1.40428335 -30.146484 80.459509
    Unten rechts KachelX + 1 3411 KachelY + 1 858 -0.52538842 1.40428335 -30.102539 80.459509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40441042-1.40428335) × R
    0.000127070000000007 × 6371000     		dl = 809.562970000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40441042-1.40428335) × R
    0.000127070000000007 × 6371000     		dr = 809.562970000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.40441042) × R
    0.000766990000000023 × 0.165619256711339 × 6371000     		do = 809.297386614769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.40428335) × R
    0.000766990000000023 × 0.165744570507925 × 6371000     		du = 809.90973164093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40441042)-sin(1.40428335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165619256711339-0.165744570507925)×R²
    abs(-0.52538842--0.52615541)×0.000125313796585785×R²
    0.000766990000000023×0.000125313796585785×6371000²
    0.000766990000000023×0.000125313796585785×40589641000000     		ar = 655425.06273222m²