Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3410 / 796
↖ ↑ ↗
← N 80.900668°
W 30.146484°		 ← 772.78 m → N 80.900668°
W 30.102539°		 →
↑
773.06 m
↓
↑
773.06 m
↓
N 80.893716°
W 30.146484°		 ← 773.37 m →
597 631 m²		 N 80.893716°
W 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41632080078125 y=0.09722900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41632080078125 × 213)
    floor (0.41632080078125 × 8192)
    floor (3410.5)     		tx = 3410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09722900390625 × 213)
    floor (0.09722900390625 × 8192)
    floor (796.5)     		ty = 796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3410 / 796 ti = "13/3410/796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3410/796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3410 ÷ 213
    3410 ÷ 8192     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 796 ÷ 213
    796 ÷ 8192     		y = 0.09716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09716796875 × 2 - 1) × π
    0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53106829993897))-π/2
    2×atan(12.5669242124965)-π/2
    2×1.49138968011671-π/2
    2.98277936023343-1.57079632675     		φ = 1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3410 KachelY 796 -0.52615541 1.41198303 -30.146484 80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 3411 KachelY 796 -0.52538842 1.41198303 -30.102539 80.900668
    Unten links KachelX 3410 KachelY + 1 797 -0.52615541 1.41186169 -30.146484 80.893716
    Unten rechts KachelX + 1 3411 KachelY + 1 797 -0.52538842 1.41186169 -30.102539 80.893716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41198303-1.41186169) × R
    0.00012133999999997 × 6371000     		dl = 773.057139999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41198303-1.41186169) × R
    0.00012133999999997 × 6371000     		dr = 773.057139999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.41198303) × R
    0.000766990000000023 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 772.782050167483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52538842) × cos(1.41186169) × R
    0.000766990000000023 × 0.158266360777445 × 6371000     		du = 773.367509971729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41198303)-sin(1.41186169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158266360777445)×R²
    abs(-0.52538842--0.52615541)×0.000119811850646329×R²
    0.000766990000000023×0.000119811850646329×6371000²
    0.000766990000000023×0.000119811850646329×40589641000000     		ar = 597630.979222555m²