Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34099 / 34487
↖ ↑ ↗
← S  9.400291°
E  7.311402°		 ← 602.59 m → S  9.400291°
E  7.316894°		 →
↑
602.63 m
↓
↑
602.63 m
↓
S  9.405710°
E  7.311402°		 ← 602.58 m →
363 135 m²		 S  9.405710°
E  7.316894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520317077636719 y=0.526237487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520317077636719 × 216)
    floor (0.520317077636719 × 65536)
    floor (34099.5)     		tx = 34099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526237487792969 × 216)
    floor (0.526237487792969 × 65536)
    floor (34487.5)     		ty = 34487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34099 / 34487 ti = "16/34099/34487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34099/34487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34099 ÷ 216
    34099 ÷ 65536     		x = 0.520309448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34487 ÷ 216
    34487 ÷ 65536     		y = 0.526229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520309448242188 × 2 - 1) × π
    0.040618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12760803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526229858398438 × 2 - 1) × π
    -0.052459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.164807060893753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12760803} λ = 0.12760803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164807060893753))-π/2
    2×atan(0.848057311724023)-π/2
    2×0.703365151843469-π/2
    1.40673030368694-1.57079632675     		φ = -0.16406602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12760803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.311402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16406602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.400291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34099 KachelY 34487 0.12760803 -0.16406602 7.311402 -9.400291
    Oben rechts KachelX + 1 34100 KachelY 34487 0.12770390 -0.16406602 7.316894 -9.400291
    Unten links KachelX 34099 KachelY + 1 34488 0.12760803 -0.16416061 7.311402 -9.405710
    Unten rechts KachelX + 1 34100 KachelY + 1 34488 0.12770390 -0.16416061 7.316894 -9.405710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16406602--0.16416061) × R
    9.45900000000055e-05 × 6371000     		dl = 602.632890000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16406602--0.16416061) × R
    9.45900000000055e-05 × 6371000     		dr = 602.632890000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12760803-0.12770390) × cos(-0.16406602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.986571333480615 × 6371000     		do = 602.585704722538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12760803-0.12770390) × cos(-0.16416061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98655587959115 × 6371000     		du = 602.576265675854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16406602)-sin(-0.16416061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986571333480615-0.98655587959115)×R²
    abs(0.12770390-0.12760803)×1.54538894651113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54538894651113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54538894651113e-05×40589641000000     		ar = 363135.120840495m²