Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34095 / 34403
↖ ↑ ↗
← S  8.944767°
E  7.289429°		 ← 603.42 m → S  8.944767°
E  7.294922°		 →
↑
603.33 m
↓
↑
603.33 m
↓
S  8.950193°
E  7.289429°		 ← 603.41 m →
364 063 m²		 S  8.950193°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520256042480469 y=0.524955749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520256042480469 × 216)
    floor (0.520256042480469 × 65536)
    floor (34095.5)     		tx = 34095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524955749511719 × 216)
    floor (0.524955749511719 × 65536)
    floor (34403.5)     		ty = 34403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34095 / 34403 ti = "16/34095/34403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34095/34403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34095 ÷ 216
    34095 ÷ 65536     		x = 0.520248413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34403 ÷ 216
    34403 ÷ 65536     		y = 0.524948120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520248413085938 × 2 - 1) × π
    0.040496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12722453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.049896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.156753661757584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12722453} λ = 0.12722453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156753661757584))-π/2
    2×atan(0.854914631048252)-π/2
    2×0.707340350220687-π/2
    1.41468070044137-1.57079632675     		φ = -0.15611563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12722453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15611563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.944767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34095 KachelY 34403 0.12722453 -0.15611563 7.289429 -8.944767
    Oben rechts KachelX + 1 34096 KachelY 34403 0.12732041 -0.15611563 7.294922 -8.944767
    Unten links KachelX 34095 KachelY + 1 34404 0.12722453 -0.15621033 7.289429 -8.950193
    Unten rechts KachelX + 1 34096 KachelY + 1 34404 0.12732041 -0.15621033 7.294922 -8.950193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15611563--0.15621033) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dl = 603.33370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15611563--0.15621033) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dr = 603.33370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12722453-0.12732041) × cos(-0.15611563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.987838684885316 × 6371000     		do = 603.422722663403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12722453-0.12732041) × cos(-0.15621033) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.987823956285965 × 6371000     		du = 603.413725676691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15611563)-sin(-0.15621033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987838684885316-0.987823956285965)×R²
    abs(0.12732041-0.12722453)×1.47285993514767e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.47285993514767e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.47285993514767e-05×40589641000000     		ar = 364062.550108122m²