Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34087 / 34137
↖ ↑ ↗
← S  7.498642°
E  7.245483°		 ← 605.56 m → S  7.498642°
E  7.250976°		 →
↑
605.63 m
↓
↑
605.63 m
↓
S  7.504089°
E  7.245483°		 ← 605.56 m →
366 744 m²		 S  7.504089°
E  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520133972167969 y=0.520896911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520133972167969 × 216)
    floor (0.520133972167969 × 65536)
    floor (34087.5)     		tx = 34087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520896911621094 × 216)
    floor (0.520896911621094 × 65536)
    floor (34137.5)     		ty = 34137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34087 / 34137 ti = "16/34087/34137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34087/34137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34087 ÷ 216
    34087 ÷ 65536     		x = 0.520126342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34137 ÷ 216
    34137 ÷ 65536     		y = 0.520889282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520126342773438 × 2 - 1) × π
    0.040252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12645754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520889282226562 × 2 - 1) × π
    -0.041778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.131251231159714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12645754} λ = 0.12645754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.131251231159714))-π/2
    2×atan(0.876997417633663)-π/2
    2×0.719960161209817-π/2
    1.43992032241963-1.57079632675     		φ = -0.13087600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12645754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.245483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13087600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.498642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34087 KachelY 34137 0.12645754 -0.13087600 7.245483 -7.498642
    Oben rechts KachelX + 1 34088 KachelY 34137 0.12655341 -0.13087600 7.250976 -7.498642
    Unten links KachelX 34087 KachelY + 1 34138 0.12645754 -0.13097106 7.245483 -7.504089
    Unten rechts KachelX + 1 34088 KachelY + 1 34138 0.12655341 -0.13097106 7.250976 -7.504089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13087600--0.13097106) × R
    9.50600000000079e-05 × 6371000     		dl = 605.62726000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13087600--0.13097106) × R
    9.50600000000079e-05 × 6371000     		dr = 605.62726000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12645754-0.12655341) × cos(-0.13087600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991447953770001 × 6371000     		do = 605.564284754229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12645754-0.12655341) × cos(-0.13097106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.991435543703702 × 6371000     		du = 605.556704837509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13087600)-sin(-0.13097106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991447953770001-0.991435543703702)×R²
    abs(0.12655341-0.12645754)×1.24100662992621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.24100662992621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.24100662992621e-05×40589641000000     		ar = 366743.943503733m²