Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34086 / 34729
↖ ↑ ↗
← S 10.709189°
E  7.239990°		 ← 600.15 m → S 10.709189°
E  7.245483°		 →
↑
600.21 m
↓
↑
600.21 m
↓
S 10.714587°
E  7.239990°		 ← 600.14 m →
360 214 m²		 S 10.714587°
E  7.245483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520118713378906 y=0.529930114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520118713378906 × 216)
    floor (0.520118713378906 × 65536)
    floor (34086.5)     		tx = 34086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529930114746094 × 216)
    floor (0.529930114746094 × 65536)
    floor (34729.5)     		ty = 34729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34086 / 34729 ti = "16/34086/34729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34086/34729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34086 ÷ 216
    34086 ÷ 65536     		x = 0.520111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34729 ÷ 216
    34729 ÷ 65536     		y = 0.529922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520111083984375 × 2 - 1) × π
    0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529922485351562 × 2 - 1) × π
    -0.059844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.18800852030986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12636167} λ = 0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.18800852030986))-π/2
    2×atan(0.828607647208697)-π/2
    2×0.691942857089387-π/2
    1.38388571417877-1.57079632675     		φ = -0.18691061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18691061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.709189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34086 KachelY 34729 0.12636167 -0.18691061 7.239990 -10.709189
    Oben rechts KachelX + 1 34087 KachelY 34729 0.12645754 -0.18691061 7.245483 -10.709189
    Unten links KachelX 34086 KachelY + 1 34730 0.12636167 -0.18700482 7.239990 -10.714587
    Unten rechts KachelX + 1 34087 KachelY + 1 34730 0.12645754 -0.18700482 7.245483 -10.714587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18691061--0.18700482) × R
    9.42099999999835e-05 × 6371000     		dl = 600.211909999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18691061--0.18700482) × R
    9.42099999999835e-05 × 6371000     		dr = 600.211909999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12636167-0.12645754) × cos(-0.18691061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982583006687907 × 6371000     		do = 600.149683494789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12636167-0.12645754) × cos(-0.18700482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98256549582916 × 6371000     		du = 600.138988076424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18691061)-sin(-0.18700482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982583006687907-0.98256549582916)×R²
    abs(0.12645754-0.12636167)×1.75108587471273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75108587471273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75108587471273e-05×40589641000000     		ar = 360213.778323906m²