Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34085 / 21413
↖ ↑ ↗
← N 76.244551°
W 86.382751°		 ← 72.62 m → N 76.244551°
W 86.380005°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.243898°
W 86.382751°		 ← 72.63 m →
5 275 m²		 N 76.243898°
W 86.380005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260051727294922 y=0.163372039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260051727294922 × 217)
    floor (0.260051727294922 × 131072)
    floor (34085.5)     		tx = 34085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163372039794922 × 217)
    floor (0.163372039794922 × 131072)
    floor (21413.5)     		ty = 21413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34085 / 21413 ti = "17/34085/21413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34085/21413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34085 ÷ 217
    34085 ÷ 131072     		x = 0.260047912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21413 ÷ 217
    21413 ÷ 131072     		y = 0.163368225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260047912597656 × 2 - 1) × π
    -0.479904174804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.50766343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163368225097656 × 2 - 1) × π
    0.673263549804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.11511982193574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50766343} λ = -1.50766343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11511982193574))-π/2
    2×atan(8.29057909984258)-π/2
    2×1.45075739434042-π/2
    2.90151478868085-1.57079632675     		φ = 1.33071846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50766343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.382751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33071846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.244551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34085 KachelY 21413 -1.50766343 1.33071846 -86.382751 76.244551
    Oben rechts KachelX + 1 34086 KachelY 21413 -1.50761549 1.33071846 -86.380005 76.244551
    Unten links KachelX 34085 KachelY + 1 21414 -1.50766343 1.33070706 -86.382751 76.243898
    Unten rechts KachelX + 1 34086 KachelY + 1 21414 -1.50761549 1.33070706 -86.380005 76.243898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33071846-1.33070706) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33071846-1.33070706) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50766343--1.50761549) × cos(1.33071846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237778260681298 × 6371000     		do = 72.6236012244506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50766343--1.50761549) × cos(1.33070706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237789333707722 × 6371000     		du = 72.6269832117403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33071846)-sin(1.33070706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237778260681298-0.237789333707722)×R²
    abs(-1.50761549--1.50766343)×1.10730264244741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10730264244741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10730264244741e-05×40589641000000     		ar = 5274.73139861834m²