Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34081 / 34691
↖ ↑ ↗
← S 10.504016°
E  7.212525°		 ← 600.55 m → S 10.504016°
E  7.218017°		 →
↑
600.53 m
↓
↑
600.53 m
↓
S 10.509416°
E  7.212525°		 ← 600.54 m →
360 647 m²		 S 10.509416°
E  7.218017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520042419433594 y=0.529350280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520042419433594 × 216)
    floor (0.520042419433594 × 65536)
    floor (34081.5)     		tx = 34081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529350280761719 × 216)
    floor (0.529350280761719 × 65536)
    floor (34691.5)     		ty = 34691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34081 / 34691 ti = "16/34081/34691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34081/34691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34081 ÷ 216
    34081 ÷ 65536     		x = 0.520034790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34691 ÷ 216
    34691 ÷ 65536     		y = 0.529342651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520034790039062 × 2 - 1) × π
    0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529342651367188 × 2 - 1) × π
    -0.058685302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184365315938736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12588230} λ = 0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184365315938736))-π/2
    2×atan(0.831631939924071)-π/2
    2×0.693733334620578-π/2
    1.38746666924116-1.57079632675     		φ = -0.18332966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18332966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.504016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34081 KachelY 34691 0.12588230 -0.18332966 7.212525 -10.504016
    Oben rechts KachelX + 1 34082 KachelY 34691 0.12597817 -0.18332966 7.218017 -10.504016
    Unten links KachelX 34081 KachelY + 1 34692 0.12588230 -0.18342392 7.212525 -10.509416
    Unten rechts KachelX + 1 34082 KachelY + 1 34692 0.12597817 -0.18342392 7.218017 -10.509416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18332966--0.18342392) × R
    9.42599999999849e-05 × 6371000     		dl = 600.530459999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18332966--0.18342392) × R
    9.42599999999849e-05 × 6371000     		dr = 600.530459999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12588230-0.12597817) × cos(-0.18332966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983242132526866 × 6371000     		do = 600.552269496116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12588230-0.12597817) × cos(-0.18342392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983224944142355 × 6371000     		du = 600.54177104107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18332966)-sin(-0.18342392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983242132526866-0.983224944142355)×R²
    abs(0.12597817-0.12588230)×1.71883845112575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71883845112575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71883845112575e-05×40589641000000     		ar = 360646.778600449m²